1. Параллельность прямых, прямой и плоскости
1. так как прямые \(a\) и \(b\) параллельны, из определения следует, что через них можно провести плоскость α .
2. Чтобы доказать, что такая плоскость только одна, на прямой \(a\) обозначаем точки \(B\) и \(C\), а на прямой \(b\) — точку \(A\).
3. Так как через три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести только одну плоскость (\(2\) аксиома), то α является единственной плоскостью, которой принадлежат прямые \(a\) и \(b\).
Теорема 2. Через любую точку пространства вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной прямой, и притом только одну.
Доказательство:
1. через данную прямую \(a\) и точку \(M\), которая не лежит на прямой, проводится плоскость α .
2. Такая плоскость только одна (т. к. через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну).
3. А в плоскости α через точку \(M\) можно провести только одну прямую \(b\), которая параллельна прямой \(a\).
Теорема 3. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Доказательство:
рассмотрим две параллельные прямые \(a\) и \(b\) и допустим, что прямая \(b\) пересекает плоскость α в точке \(M\) (1 рис.).
Из \(1\)-й теоремы известно, что через параллельные прямые \(a\) и \(b\) можно провести только одну плоскость β .
Так как точка \(M\) находится на прямой \(b\), то \(M\) также принадлежит плоскости β (2 рис.). Если у плоскостей α и β есть общая точка \(M\), то у этих плоскостей есть общая прямая \(c\), которая является прямой пересечения этих плоскостей (\(4\) аксиома).
Прямые \(a\), \(b\) и \(c\) находятся в плоскости β .
Если в этой плоскости одна из параллельных прямых \(b\) пересекает прямую \(c\), то вторая прямая \(a\) тоже пересекает \(c\).
Точку пересечения прямых \(a\) и \(c\) обозначим за \(K\).
Так как точка \(K\) находится на прямой \(c\), то \(K\) находится в плоскости α и является единственной общей точкой прямой \(a\) и плоскости α .
Значит, прямая \(a\) пересекает плоскость α в точке \(K\).
Теорема 4. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.
Дано: a ∥ c и b ∥ c .
Доказать: a ∥ b .
Доказательство:
выберем точку \(M\) на прямой \(b\).
Через точку \(M\) и прямую \(a\), которая не содержит эту точку, можно провести только одну плоскость α (через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость).
Возможны два случая:
1) прямая \(b\) пересекает плоскость α ; или 2) прямая \(b\) находится в плоскости α .
Пусть прямая \(b\) пересекает плоскость α .
Значит, прямая \(c\), которая параллельна прямой \(b\), тоже пересекает плоскость α . Так как a ∥ c , то получается, что \(a\) тоже пересекает эту плоскость. Но прямая \(a\) не может одновременно пересекать плоскость α и находиться в плоскости α . Получаем противоречие, следовательно, предположение, что прямая \(b\) пересекает плоскость α , является неверным.
Значит, прямая \(b\) находится в плоскости α .
Теперь нужно доказать, что прямые \(a\) и \(b\) параллельны.
Пусть у прямых \(a\) и \(b\) есть общая точка \(L\).
Это означает, что через точку \(L\) проведены две прямые \(a\) и \(b\), которые параллельны прямой \(c\). Но по второй теореме это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые \(a\) и \(b\) не имеют общих точек.
Так как прямые \(a\) и \(b\) находятся в одной плоскости α , и у них нет общих точек, то они параллельны.
Всё множество прямых в пространстве, которые параллельны данной прямой, называется пучком параллельных прямых .
Выводы:
1) любые две прямые пучка параллельных прямых параллельны между собой.
2) Параллельности прямых в пространстве присуща транзитивность: если a ∥ b и b ∥ c , то a ∥ c .
одна сторона параллелограмма пересекает плоскость. Докажите, что прямая, которая содержит противоположную сторону параллелограмма, тоже пересекает эту плоскость.
Допустим, что у параллелограмма \(ABCD\) сторона \(AD\) пересекает плоскость α в точке \(K\).
Так как противоположные стороны параллелограмма параллельны, то, согласно третьей теореме, прямая, которая содержит сторону \(BC\), тоже пересекает плоскость α .
2. Параллельность прямой и плоскости
Существуют три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:
1) прямая лежит (находится) в плоскости;
2) прямая и плоскость имеют только одну общую точку (прямая и плоскость пересекаются);
3) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.
Прямая и плоскость называются параллельными , если они не имеют общих точек.
Теорема 5 «Признак параллельности прямой и плоскости».
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой на этой плоскости, то эта прямая параллельна данной плоскости.
Доказательство:
доказательство проведём от противного. Пусть \(a\) не параллельна плоскости α , тогда прямая \(a\) пересекает плоскость в некоторой точке \(A\). Причём \(A\) не находится на \(b\), так как a ∥ b . Согласно признаку скрещивающихся прямых, прямые \(a\) и \(b\) — скрещивающиеся.
Мы пришли к противоречию. Так как согласно данной информации a ∥ b , они не могут быть скрещивающимися. Значит, прямая \(a\) должна быть параллельна плоскости α .
Обрати внимание!
Следующие две теоремы очень часто используются при решении задач.
Теорема 6.
Если плоскость β проходит через данную прямую \(a\), параллельную плоскости α , и пересекает эту плоскость по прямой \(b\), то b ∥ a .
как доказать что прямые параллельны.
Пусть прямые a и b параллельны прямой с. Допустим, что прямые a и b не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке С. Получается, что через точку С проходит две прямые параллельные прямой с. Но это противоречит аксиоме «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной» . Теорема доказана.
Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны.
Пусть есть параллельные прямые a и b, которые пересекаются секущей прямой с. Прямая с пересекает прямую а в точке A и прямую b в точке B. Проведем чрез точку A прямую a1 так, что бы прямые a1 и b с секущей с образовали равные внутренние накрест лежащие углы. По признаку параллельности прямых прямые a1 и b параллельны. А так как через точку A можно провести только одну прямую параллельную b, то a и a1 совпадают.
Значит, внутренние накрест лежащие углы, образованные прямой a и b, равны. Теорема доказана.
На основании теоремы доказывается:
Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответствующие углы равны.
Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна 180 º
Остальные ответы
Прямые параллельны в том случае, если не имеют точек пересечения
Так уже доказали же. ))
Опоздала. ))
Короче, смотри в учебнике геометрии 10-11 класс.
там есть оксиомы, например, две прямые параллельные третей паралельны между собой, напиши в гугле параллельные прямые, или 5 оксиом Евклида
это аксиома и доказательства не требуется
1) если при пересечении 2 прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны
2)если при пересечении 2 прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны
3) если при пересечении 2 прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусам, то прямые параллельны
Источник: тетрадка по геометрии
если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градуам то прямые параллельны
При пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны то прямые параллельны
При пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусам то прямые парралельны
При пересечении двух прямых секущей соответсвенные углы равны то прямые параллельны
Доказать что прямые a и b параллельны
Две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
Если две прямые a и b параллельны, то, как и в планиметрии, пишут a || b . В пространстве прямые могут быть размещены так, что они не пересекаются и не параллельны. Этот случай является особым для стереометрии.
Теорема
Две прямые , параллельные третьей прямой, параллельны.
Доказательство
Пусть прямые b и с параллельны прямой a. Нужно доказать, что прямые b и с параллельны.
Случай, когда прямые a, b, с лежат в одной плоскости рассмотрен а разделе параллельные прямые.
Пусть прямые не лежат в одной плоскости и β — плоскость, в которой лежат прямые a и b, а γ — плоскость, в которой лежат прямые a и с. Плоскости β и γ различны. Отметим на прямой b какую-нибудь точку B и проведем плоскость γ1 через прямую с и точку B. Она пересечет плоскость β по прямой b1.
Прямой b1 не пересекает плоскость γ. Действительно, точка пересечения должна принадлежать прямой a, так как прямая b1 лежит в плоскости β. С другой стороны, она должна лежать и на прямой с, так как прямая b1 лежит в плоскости γ1. Но прямые a и с как параллельные не пересекаются.
Так как прямая b1 лежит в плоскости β и не пересекает прямую a, то она параллельна a, а значит, совпадает с b по аксиоме параллельных. Значит, прямая b, совпадая с прямой b
1. Определение и доказательства признаков параллельности прямых в плоскости
Две прямые в плоскости, либо пересекаются в одной точке, либо не пересекаются (не имеют общих точек).
На плоскости две прямые \(a\) и \(b\), которые не пересекаются, называются параллельными и обозначаются a ∥ b .
Обрати внимание!
Если рассмотреть прямые, которые не лежат в одной плоскости, то возможна ситуация, что прямые не пересекаются, но они и не параллельны.
Рис. \(2\). Выделенные малиновым цветом отрезки не параллельны.
Рассмотрим один из признаков параллельности прямых на плоскости.
1 признак. Если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.
Рис. \(3\). Один из признаков параллельности прямых на плоскости.
Этот признак легко доказать, если вспомнить, что к прямой в плоскости из любой точки можно провести только один перпендикуляр.
Допустим, что прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, не параллельны, то есть имеют общую точку.
Рис. \(4\). Доказательство признака параллельности прямых на плоскости.
Получается противоречие — из одной точки \(H\) к прямой \(c\) проведены два перпендикуляра. Такое невозможно, поэтому две прямые на плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.
Для рассмотрения других признаков надо ознакомиться с некоторыми видами углов:
1) вспомним, что нам известны названия и свойства углов, которые образуют две пересекающиеся прямые.
Рис. \(5\). Углы, образованные двумя пересекающимися прямыми.
Вертикальные углы равны: ∠ 1 = ∠ 3 ; ∠ 2 = ∠ 4 .
Сумма смежных углов 180 ° : ∠ 1 + ∠ 2 = ∠ 2 + ∠ 3 = ∠ 3 + ∠ 4 = ∠ 4 + ∠ 1 = 180 ° .
2) Вспомним названия углов при пересечении двух прямых третьей прямой (секущей).
Рис. \(6\). Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей.
Накрест лежащие углы: ∠ 3 и ∠ 5 ; ∠ 2 и ∠ 8 ;
соответственные углы: ∠ 1 и ∠ 5 ; ∠ 4 и ∠ 8 ; ∠ 2 и ∠ 6 ; ∠ 3 и ∠ 7 ;
односторонние углы: ∠ 3 и ∠ 8 ; ∠ 2 и ∠ 5 .
Эти углы помогут определить параллельность прямых \(a\) и \(b\).
2 признак. Если при пересечении двух прямых третьей секущей:
накрест лежащие углы равны, или
соответственные углы равны, или
сумма односторонних углов равна \(180°\) — то прямые параллельны.
Рис. \(7\). Признаки параллельности прямых на плоскости.
Приведём доказательство.
Сначала докажем: если прямые \(a\) и \(b\) пересекает прямая \(c\), и накрест лежащие углы равны, то прямые \(a\) и \(b\) параллельны.
Например, если ∠ 3 = ∠ 5 , то a ∥ b .
Рис. \(8\). Признак параллельности прямых по равенству накрест лежащих углов.
Рис. \(9\). Доказательство признака параллельности прямых по равенству накрест лежащих углов.
1) Отметим точки \(C\) и \(D\), в которых прямые \(a\) и \(b\) пересекает прямая \(c\). Через серединную точку \(K\) этого отрезка проведём перпендикуляр \(AB\) к прямой \(a\).
2) ∠ CKA \(=\) ∠ DKB как вертикальные углы, ∠ 3 \(=\) ∠ 5 \(=\) α , \(CK = KD\) — значит, Δ CKA \(=\) Δ DKB по признаку о стороне и двум прилежащим к ней углам.
3) Очевидно, если Δ CKA прямоугольный, то и Δ DKB прямоугольный, и \(AB\) перпендикулярен к прямой \(b\).
4) Согласно первому доказанному признаку прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.
5) В случае, когда равны соответственные углы, имеем в виду, что вертикальные углы равны, и доказываем, как в пунктах 1) — 4).
Рис. \(10\). Признак параллельности прямых по равенству соответственных углов.
Рис. \(11\). Доказательство признака параллельности прямых по равенству соответственных углов.
6) В случае, когда сумма односторонних углов равна 180° , имеем в виду, что сумма смежных углов тоже равна \(180°\), и используем в доказательстве пункты 1) — 4).