Как проверить делится ли число на 4

Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

2, 8, 16, 24, 66, 150 — делятся на 2, так как последняя цифра этих чисел четная;

3, 7, 19, 35, 77, 453 — не делятся на 2, так как последняя цифра этих чисел нечетная.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

75 — делится на 3, так как 7+5=12, и число 12 делится на 3 (12:3=4);

471 — делится на 3, так как 4+7+1=12, и число 12 делится на 3 (12:3=4);

532 — не делится на 3, так как 5+3+2=10, а число 10 не делится на 3 (10:3=3 1 3 ).

Признак делимости на 4

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 4. Двузначное число делится на 4 тогда и только тогда, когда удвоенное число десятков, сложенное с числом единиц делится на 4.

4576 — делится на 4, так как число 76 делится на 4 (7·2+6=20, 20:4=5);

9634 — не делится на 4, так как число 34 не делится на 4 (3·2+4=10, 10:4=2 1 2 ).

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда, когда последняя цифра делится на 5, т.е. если она 0 или 5.

375, 5680, 233575 — делятся на 5, так как их последняя цифра равна 0 или 5;

9634, 452, 389753 — не делятся на 5, так как их последняя цифра не равна 0 или 5.

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3, то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3.

462 — делятся на 6, по признаку делимости на 2 оно делится на 2 (последняя цифра 2 делится на 2), по признаку делимости на 3 оно делится на 3 (сумма цифр числа делится на 3: 4+6+2=12, 12:3=4);

3456 — делятся на 6, по признаку делимости на 2 оно делится на 2 (последняя цифра 6 делится на 2), по признаку делимости на 3 оно делится на 3 (сумма цифр числа делится на 3: 3+4+5+6=18, 18:3=6);

24642 — делятся на 6, по признаку делимости на 2 оно делится на 2 (последняя цифра 2 делится на 2), по признаку делимости на 3 оно делится на 3 (сумма цифр числа делится на 3: 2+4+6+4+2=18, 18:3=6);

861 — не делятся на 6, так как по признаку делимости оно не делится на 2;

3458 — не делятся на 6, так как по признаку делимости оно не делится на 3;

34681 — не делятся на 6, так как по признаку делимости оно не делится на 2.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

468, 4788, 69759 — делятся на 9, так как сумма их цифр делится на девять (4+6+8=18, 4+7+8+8=27, 6+9+7+5+9=36);

861, 3458, 34681 — не делятся на 9, так как сумма их цифр не делится на девять (8+6+1=15, 3+4+5+8=20, 3+4+6+8+1=22).

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на нoль.

460, 24000, 1245464570 — делятся на 10, так как последняя цифра этих чисел равна нулю;

234, 25048, 1230000003 — не делятся на 10, так как последняя цифра этих чисел не равна нулю.

Признак делимости на 11

Число делится на 11 если сумма цифр стоящих на четных местах равна сумме цифр стоящих на нечетных местах или отличается от нее на число кратное 11.

2 4 2 — делится на 11, так как сумма цифр на нечетных позициях S_2n+1 = 2 + 2 = 4 ; сумма цифр на четных позициях S_2n = 4 и S_2n+1 = S_2n .

3 1 9 — делится на 11, так как сумма цифр на нечетных позициях S_2n+1 = 3 + 9 = 12 ; сумма цифр на четных позициях S_2n = 1 , а их разность S_2n+1 — S_2n = 11 — делится на 11.

9 1 9 3 8 0 — делится на 11, так как сумма цифр на нечетных позициях S_2n+1 = 9 + 9 + 8 = 26 ; сумма цифр на четных позициях S_2n = 1 + 3 + 0 = 4 , а их разность S_2n+1 — S_2n = 22 — делится на 11.

2 8 3 8 — делится на 11, так как сумма цифр на нечетных позициях S_2n+1 = 2 + 3 = 5 ; сумма цифр на четных позициях S_2n = 8+ 8 = 16 , а их разность S_2n — S_2n+1 = 11 — делится на 11.

2 4 4 — не делится на 11, так как сумма цифр на нечетных позициях S_2n+1 = 2 + 4 = 6 ; сумма цифр на четных позициях S_2n = 4 и S_2n+1 — S_2n = 2 — не делится на 11.

Признаки делимости

Число делится на два, если его последняя цифра четная или нуль . В остальных случаях — не делится.

Число 52 738 делится на 2 так, как последняя цифра 8 — четная.
7 691 не делится на 2 , так 1 — цифра нечетная.
1 250 делится на 2 , так как последняя цифра нуль.

Признаки делимости на 3

На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3

Число 17 835 делится на 3 , так как сумма его цифр

\[ 1 + 7 + 8 + 3 + 5 = 24 \]

Признак делимости на 4

Число делится на 4 , если две последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 4 . В остальных случаях — не делится.

31 700 делится на 4 , так как оканчивается двумя нулями.
4 215 634 не делится на 4 , так как последние две цифры дают число 34 , не делящееся на 4 .
16 608 делится на 4 , так как последние две цифры 08 дают число 8 , делящееся на 4 .

Признак делимости на 5

На 5 делятся числа, последняя цифра которых 0 или 5 . Другие — не делятся.

240 делится на 5 (последняя цифра 0 ).
554 не делится на 5 (последняя цифра 4 ).

Признак делимости на 6

Число делится на 6 , если оно делится одновременно и на 2 и на 3 . В противном случае — не делится.

126 делится на 6 , так как оно делится на 2 и на 3 .

Признак делимости на 8

Подобен признаку делимости на 4 . Число делится на 8 , если три последние цифры его нули или образуют число, делящееся на 8 . В остальных случаях — не делится.

125 000 делится на 8 (три нуля в конце).
170 004 не делится на 8 (три последние цифры дают число 4 , не делящееся на 8 ).
111 120 делится на 8 (три последние цифры дают число 120 , делящееся на 8 ).

Примечания. Можно указать подобные признаки и для деления на 16, 32, 64 и т. д., но они не имеют практического значения.

Признак делимости на 9

На 9 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 9 .

Число 106 499 не делится на 9 , так как сумма его цифр ( 29 ) не делится на 9 . Число 52 632 делится на 9 , так как сумма его цифр ( 18 ) делится на 9 .

Признаки делимости на 10, 100 и 1000

На 10 делятся только те числа, последняя цифра которых нуль , на 100 — только те числа, у которых две последние цифры нули, на 1000 — только те, у которых три последние цифры нули.

8200 делится на 10 и на 100 .
542 000 делится на 10 , 100 , 1000 .

Признак делимости на 11

На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечетные места, либо равна сумма цифр, занимающих четные места, либо разнится от нее на число, делящееся на 11 .

Число 103 785 делится на 11 , так как сумма цифр, занимающих нечетные места,

\[ 1 + 3 + 8 = 12 \]

равна сумме цифр, занимающих четные места

\[ 0 + 7 + 5 = 12 \]

Число 9 163 627 делится на 11 , так как сумма цифр, занимающих нечетные места, есть

\[ 9 + 6 + 6 + 7 = 28 \]

а сумма цифр, занимающих четные места

\[ 1 + 3 + 2 = 6 \]

разность между числами 28 и 6 есть 22 , а это числи делится на 11 . Число 461 025 не делится на 11 , так как числа

\[ 4 + 1 + 2 = 7 \]
\[ 6 + 0 + 5 = 11 \]

не равны друг другу, а их разность

на 11 не делится.

Признак делимости на 25

На 25 делятся числа, две последние цифры которых нули или образуют число, делящееся на 25 (т. е. числа, оканчивающиеся на 00 , 25 , 50 или 75 ). Другие не делятся.

7 150 делится на 25 (оканчивается на 50 ). 4855 не делится на 25 .

ПримечанияСуществуют признаки делимости и на другие числа (сверх вышеперечисленных), но эти признаки сложнее.

Признак делимости на 2, 4 и 8

Чтобы понять делится ли одно число на другое не обязательно проводить сложные вычисления или иметь при себе калькулятор.

Математики придумали специальные правила, который помогут вам узнать делятся ли числа нацело друг на друга. Эти правила называются признаками делимости .

Признак делимости на 2

Запомните!

Число делится на 2 , если его последняя цифра делится на 2 или является нулём.

• 52 делится на 2 . Последняя цифра 2 делится на 2 нацело 2 : 2 = 1 .
• 300 делится на 2 . Последняя цифра 0 .
• 11 не делится на 2 . Последняя цифра 1 не делится на 2 .

Признак делимости на 4

Запомните!

Число делится на 4 , если две его последние цифры нули или образуют число, делящееся на 4 .

• 548 делится на 4 . Две последние цифры 48 делятся на 4 нацело (48 : 4 = 12) .
• 600 делится на 4 . Две последние цифры нули.
• 755 не делится на 4 . Две последние цифры 55 не делятся на 4 .

Признак делимости на 8

Запомните!

Число делится на 8 , если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8 .

• 1128 делится на 8 . Три последние цифры 128 делятся на 8 нацело (128 : 8 = 16) .
• 7000 делится на 8 . Три последние цифры нули.
• 6755 не делится на 4 . Три последние цифры 755 не делятся на 4 .

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».

31 мая 2018 в 11:03

Зураб Валиев Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1

Зураб Валиев
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1

Ребята! У Вас ошибка в статье про признак делимости.

Суммы там должны отличаться не ровно на 11, а число, кратное 11 (в том числе и ноль, кстати говоря :D).

Проблема в том, что по Вашему признаку число 90904 не будет делиться на 11. Не верите? А Вы проверьте! 😉

31 мая 2018 в 14:13
Ответ для Зураб Валиев

Борис Гуров Профиль Благодарили: 2
Сообщений: 32

Борис Гуров
Профиль
Благодарили: 2
Сообщений: 32

Благодарим за ваше наблюдение. Вы правы, число будет делиться на 11, если разница между суммами цифр на нечетных местах кратно 11.

Случай, когда разница между суммами равна нулю, в уроке описан:
«когда сумма цифр, которые стоят на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных».

Изменения в урок будут внесены в ближайшее время.

8 сентября 2015 в 0:09

Елена Шурыгина Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1

Елена Шурыгина
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1

Спасибо! Приходится «обновлять» знания… Вроде знаю, а пояснить грамотно уже не получается… Спасибо, за «возрождение» моего математического языка.

Признак делимости на 4: примеры, доказательство

Приступим к рассмотрению темы «Признак делимости на 4 ». Приведем здесь формулировку признака, проведем его доказательство, рассмотрим основные примеры задач. В конце раздела мы собрали сведения о подходах, которые можно применять в тех случаях, когда нам нужно доказать делимость чисел на 4 , заданных буквенным выражением.

Признак делимости на 4 , примеры

Мы можем пойти простым путем и поделить однозначное натуральное число на 4 для того, чтобы проверить, делится ли это число на 4 без остатка. Так же можно поступить с двузначными, трехзначными и проч. числами. Однако, чем больше становятся числа, тем сложнее проводить с ними действия с целью проверки делимости их на 4 .

Гораздо проще становится использовать признак делимости на 4 . Он предполагает проведение проверки делимости одной или двух последних цифр целого числа на 4 . Что это значит? Это значит, что некоторое число a делится на 4 в том случае, если одна или две крайние правые цифры в записи числа a делятся на 4 . Если число, составленное из двух крайних правых цифр в записи числа a не делятся на 4 без остатка, то и число a не делится на 4 без остатка.

Какие из чисел 98 028 , 7 612 и 999 888 777 делятся на 4 ?

Решение

Крайние правые цифры чисел − 98 028 , 7 612 составляют числа 28 и 12 , которые делятся на 4 без остатка. Это значит, что и целые числа − 98 028 , 7 612 ​​​​​​ ​делятся на 4 без остатка.

Последние две цифры в записи числа 999 888 777 образуют число 77 , которое не делится на 4 без остатка. Это значит, что и исходное число на 4 без остатка не делится.

Ответ: − 98 028 и 7 612 .

Если предпоследней цифрой в записи числа является 0 , то нам необходимо этот ноль отбросить и смотреть на оставшуюся крайнюю правую цифру в записи. Получается, что две цифры 01 мы заменяем 1 . И уже по одной оставшейся цифре мы делаем вывод о том, делится ли исходное число на 4 .

Делится ли числа 75 003 и − 88 108 на 4 ?

Решение

Две последние цифры числа 75 003 — видим 03 . Если отбросить ноль, то у нас остается цифра 3 , которая на 4 без остатка не делится. Это значит, что исходное число 75 003 на 4 без остатка не делится.

Теперь возьмем две последние цифры числа − 88 108 . Это 08 , из которых мы должны оставить лишь последнюю цифру 8 . 8 делится на 4 без остатка.

Это значит, что и исходное число − 88 108 мы можем поделить на 4 без остатка.

Ответ: 75 003 не делится на 4 , а − 88 108 – делится.

Числа, у которых в конце записи идет сразу два нуля, также делятся на 4 без остатка. Например, 100 делится на 4 , получается 25 . Доказать правдивость этого утверждения нам позволяет правило умножения числа на 100 .

Представим произвольно выбранное многозначное число a , запись которого справа заканчивается двумя нулями, как произведение a 1 · 100 , где число a 1 получается из числа a , если в его записи справа отбросить два нуля. Например, 486700 = 4867 · 100 .

Произведение a 1 · 100 содержит множитель 100 , который делится на 4 . Это значит, что все приведенное произведение делится на 4 .

Доказательство признака делимости на 4

Представим любое натуральное число a в виде равенства a = a 1 · 100 + a 0 , в котором число a 1 – это число a , из записи которого убрали две последние цифры, а число a 0 – это две крайние правые цифры из записи числа a . Если использовать конкретные натуральные числа, то равенство будет иметь вид undefined. Для одно- и двузначных чисел a = a 0 .

Теперь обратимся к свойствам делимости:

• деление модуля числа a на модуль числа b необходимо и достаточно для того, чтобы целое число a делилось на целое число b ;
• если в равенстве a = s + t все члены, кроме одного делятся на некоторое целое число b , то и этот оставшийся член делится на число b .

Теперь, освежив в памяти необходимые свойства делимости, переформулируем доказательство признака делимости на 4 в виде необходимого и достаточного условия делимости на 4 .

Деление двух последних цифр в записи числа a на 4 – это необходимое и достаточное условие для делимости целого числа a на 4 .

Доказательство 1

Если предположить, что a = 0 , то теорема в доказательстве не нуждается. Для всех остальных целых чисел a мы будем использовать модуль числа a , который является числом положительным: a = a 1 · 100 + a 0

С учетом того, что произведение a 1 · 100 всегда делится на 4 , а также с учетом свойств делимости, которые мы привели выше, мы можем сделать следующее утверждение: если число a делится на 4 , то и модуль числа a делится на 4 , тогда из равенства a = a 1 · 100 + a 0 следует, что a 0 делится на 4 . Так мы доказали необходимость.

Из равенства a = a 1 · 100 + a 0 следует, что модуль a делится на 4 . Это значит, что и само число a делится на 4 . Так мы доказали достаточность.

Другие случаи делимости на 4

Рассмотрим случаи, когда нам нужно установить делимость на 4 целого числа, заданного некоторым выражением, значение которого надо вычислить. Для этого мы можем пойти следующим путем:

• представить исходное выражение в виде произведения нескольких множителей, один из которых будет делиться на 4 ;
• сделать вывод на основании свойства делимости о том, что все исходное выражение делится на
  4 .

Помочь в решении задачи часто помогает формула бинома Ньютона.

Делится ли на 4 значение выражения 9 n — 12 n + 7 при некотором натуральном n ?

Решение

Мы можем представить 9 в виде суммы 8 + 1 . Это дает нам возможность применить формулу бинома Ньютона:

9 n — 12 n + 7 = 8 + 1 n — 12 n + 7 = = C n 0 · 8 n + C n 1 · 8 n — 1 · 1 + . . . + C n n — 2 · 8 2 · 1 n — 2 + C n n — 1 · 8 · 1 n — 1 + C n n · 1 n — — 12 n + 7 = = 8 n + C n 1 · 8 n — 1 · 1 + . . . + C n n — 2 · 8 2 + n · 8 + 1 — — 12 n + 7 = = 8 n + C n 1 · 8 n — 1 · 1 + . . . + C n n — 2 · 8 2 — 4 n + 8 = = 4 · 2 · 8 n — 1 + 2 · C n 1 · 8 n — 2 + . . . + 2 · C n n — 2 · 8 1 — n + 2

Произведение, которое мы получили в ходе преобразований, содержит множитель 4 , а выражение в скобках представляет собой натуральное число. Это значит, что это произведение можно разделить на 4 без остатка.

Мы можем утверждать, что исходное выражение 9 n — 12 n + 7 делится на 4 при любом натуральном n .

Ответ: Да.

Также мы можем применить к решению задачи метод математической индукции. Чтобы не отвлекать ваше внимание на второстепенные детали разбора решения, возьмем прежний пример.

Докажите, что 9 n — 12 n + 7 делится на 4 при любом натуральном n .

Решение

Начнем с установления того, что при значении n = 1 значение выражения 9 n — 12 n + 7
можно будет разделить на 4 без остатка.

Получаем: 9 1 — 12 · 1 + 7 = 4 . 4 делится на 4 без остатка.

Теперь мы можем предположить, что при значении n = k значение выражения
9 n — 12 n + 7 будет делиться на 4 . Фактически, мы будем работать с выражением 9 k — 12 k + 7 , которое должно делиться на 4 .

Нам необходимо доказать, что 9 n — 12 n + 7 при n = k + 1 будет делиться на 4 с учетом того, что 9 k — 12 k + 7 ​​​​​ делится на 4 :

9 k + 1 — 12 ( k + 1 ) + 7 = 9 · 9 k — 12 k — 5 = 9 · 9 k — 12 k + 7 + 96 k — 68 = = 9 · 9 k — 12 k + 7 + 4 · 24 k — 17

Мы получили сумму, в которой первое слагаемое 9 · 9 k — 12 k + 7 делится на 4 в связи с нашим предположением о том, что 9 k — 12 k + 7 делится на 4 , а второе слагаемое 4 · 24 k — 17 содержит множитель 4 , в связи с чем также делится на 4 . Это значит, что вся сумма делится на 4 .

Ответ: мы доказали, что 9 n — 12 n + 7 делится на 4 при любом натуральном значении n методом математической индукции.

Мы можем использовать еще один подход для того, чтобы доказать делимость некоторого выражения на 4 . Этот подход предполагает:

• доказательство факта того, что значение данного выражения с переменной n делится на 4 при n = 4 · m , n = 4 · m + 1 , n = 4 · m + 2 и n = 4 · m + 3 , где m – целое число;
• вывод о доказанности делимости данного выражения на 4 для любого целого числа n .

Докажите, что значение выражения n · n 2 + 1 · n + 3 · n 2 + 4 при любом целом n делится на 4 .

Решение

Если предположить, что n = 4 · m , получаем:

4 m · 4 m 2 + 1 · 4 m + 3 · 4 m 2 + 4 = 4 m · 16 m 2 + 1 · 4 m + 3 · 4 · 4 m 2 + 1

Полученное произведение содержит множитель 4 , все остальные множители представлены целыми числами. Это дает нам основание предполагать, что все произведение делится на 4 .

Если предположить, что n = 4 · m + 1 , получаем:

4 m + 1 · 4 m + 1 2 + 1 · 4 m + 1 + 3 · 4 m + 1 2 + 4 = = ( 4 m · 1 ) + 4 m + 1 2 + 1 · 4 m + 1 · 4 m + 1 2 + 4

И опять в произведении, которое мы получили в ходе преобразований,
содержится множитель 4 .

Это значит, что выражение делится на 4 .

Если предположить, что n = 4 · m + 2 , то:

4 m + 2 · 4 m + 2 2 + 1 · 4 m + 2 + 3 · 4 m + 2 2 + 4 = = 2 · 2 m + 1 · 16 m 2 + 16 m + 5 · ( 4 m + 5 ) · 8 · ( 2 m 2 + 2 m + 1 )

Здесь в произведении мы получили множитель 8 , который можно без остатка поделить на 4 . Это значит, что все произведение делится на 4 .

Если предположить, что n = 4 · m + 3 , получаем:

4 m + 3 · 4 m + 3 2 + 1 · 4 m + 3 + 3 · 4 m + 3 2 + 4 = = 4 m + 3 · 2 · 8 m 2 + 12 m + 5 · 2 · 2 m + 3 · 16 m 2 + 24 m + 13 = = 4 · 4 m + 3 · 8 m 2 + 12 m + 5 · 16 m 2 + 24 m + 13

Произведение содержит множитель 4 , значит делится на 4 без остатка.

Ответ: мы доказали, что исходное выражение делится на 4 при любом n .