Как дополнить систему векторов до базиса?
дана система векторов
(2,3,-4,-1) и (1,-2,1,3)
доказала, что она линейно независима, теперь нужно дополнить до базиса.. как?
Лучший ответ
В 1-м случае добавьте (0,0,1,0) и (0,0,0,1).
Во 2-м случае, убедившись в линейной независимости
данных векторов, добавьте (0,0,0,0,1).
Остальные ответы
Сначала рисуйте вектор вправо, потом вверх, потом влево, потом вниз, потом вправо и т. п.
Самый простой линейный способ — это дополнить каноническим базисом и избавиться в нём от линейной зависимости (то есть, спроецировать какой-то базис на ортогональное дополнение подпространства на этих векторах)
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел
Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.
линейная-алгебра — Дополнение векторов до базиса пространства
Есть следующий набор линейно независимых векторов: (1,0,0,4,1), (0,1,0,-18,-5), (0,0,1,-5,-2). Как дополнить его до базиса всего пространства $$R^$$ ? Правильно ли я понимаю, что если добавить вектора (1,0,0,0,0) и (0,1,0,0,0), то это и будет ответ? Как в таком случае это строго обосновать?
задан 4 Фев ’17 18:53
Посчитайте определитель матрицы, составленной из этих строк. Если он не 0, то вы правильно подобрали)
(4 Фев ’17 19:58) delta37
@leonardeuler: если вместо указанных векторов добавить два других, а именно, (0,0,0,1,0) и (0,0,0,0,1), то обосновывать практически ничего не надо: получится матрица ступенчатого вида, а её строки линейно независимы.
Для Вашего случая всё тоже подходит, но тут уже надо проверять, и если бы вместо -18 было -20, то базис эти векторы уже не образуют.
Линейная зависимость векторов. Базис.
В базисе \(\bar_1=\left(\begin 1 \\ 0 \\ 0\end \right)\) , \(\bar_2=\left(\begin 0 \\ 1 \\ 0\end \right)\) , \(\bar_3=\left(\begin 0 \\ 0 \\ 1\end \right)\) заданы векторы \(\left(\begin 7 \\ -5 \\ 0\end \right)\) , \(\left(\begin -4 \\ 0 \\ -3\end \right)\) , \(\left(\begin 0 \\ -8 \\ 4\end \right)\) . Установить, составляют ли они базис. Если составляют, то найти связь между новым и старым базисами, а также найти компоненты вектора \(\bar
=\left(\begin 2 \\ -5 \\ 4\end \right)\) в новом базисе.
Найти базу системы векторов и выразить оставшиеся векторы через базу.
\(a_1=(-4;6;8;0)\) , \(a_2=(-1;1;4;1)\) , \(a_3=(-3;5;4;-1)\) , \(a_4=(-3;5;4;-1)\) , \(a_5=(2;-4;0;2)\) .
Найти базис системы векторов и выразить остальные векторы через этот базис:
\(a_1=(5;3;4;3;2)\) , \(a_2=(0;0;-1;-1;0)\) , \(a_3=(5;3;6;5;2)\) , \(a_4=(10;6;11;9;4)\) .
Дана система векторов \(a_1\) , \(a_2\) , \(a_3\) , \(a_4\) , \(a_5\) , \(a_6\) , в которой \(a_3=(0;1;1;2)\) , \(a_4=(1;1;1;3)\) , \(a_5=(1;0;-2;-1)\) , \(a_6=(1;0;1;2)\) . Дополнить линейно независимую часть \(a_1=(3;3;2;8)\) , \(a_2=(0;4;-3;1)\) до базиса системы векторов \(a_1\) , \(a_2\) , \(a_3\) , \(a_4\) , \(a_5\) , \(a_6\) и все векторы, не входящие в базис, разложить по базису.
VseSdam.Ru Помощь с решением задач по высшей математике. Консультации.
Научный форум dxdy
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
Дополнить до базиса
Дополнить до базиса
21.05.2015, 19:36
Дана система векторов: . Нужно дополнить до базиса.
Я рассуждал так: канонический базис понятно какой. Нужно из него выбрать вектор, который не принадлежит линейной оболочке этой системы. Составим матрицу, где четвертым столбцом будет подставлять вектор из канонического базиса. Как только определитель не нулевой, значит матрица полного ранга, готов.
Но они все получились не нулевые!
Re: Дополнить до базиса
21.05.2015, 19:43
| Заслуженный участник |
Ну и выбирайте любой.
Re: Дополнить до базиса
21.05.2015, 19:45
| Заслуженный участник |
2old в сообщении #1018197 писал(а):
Но они все получились не нулевые!
А если бы я сгенерировал случайные координаты для 100 четвёртых векторов и все эти 100 векторов оказались бы дополняющими до базиса, Вас бы это удивило больше или меньше?
Re: Дополнить до базиса
21.05.2015, 19:47
Последний раз редактировалось 2old 21.05.2015, 19:48, всего редактировалось 1 раз.
arseniiv
Так если у исходной системы ранг 3, разве какие-то три из не должны ей принадлежать? А тут выходят все не принадлежат.
grizzly
Меньше, так как есть шанс что все они из одного подпространства размерности 1
Re: Дополнить до базиса
21.05.2015, 19:54
| Заслуженный участник |
Последний раз редактировалось arseniiv 21.05.2015, 19:56, всего редактировалось 1 раз.
2old в сообщении #1018204 писал(а):
Так если у исходной системы ранг 3, разве какие-то три из не должны ей принадлежать?
А почему вы так считаете?
2old в сообщении #1018204 писал(а):
Меньше, так как есть шанс что все они из одного подпространства размерности 1
Если генерировать аккуратно, этот шанс будет независимо от количества векторов нулевой. (Ну, если только векторное пространство не конечно…)
— Чт май 21, 2015 21:56:39 —
Кстати, посмотрите на трёхмерную аналогичную задачу (тут можно подключить глаза). Вот есть плоскость, натянутая на два каких-то вектора. Ничто не мешает трём не лежащим в ней векторам оказываться базисом пространства.