5.5.4. Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми?
г) Срубаем четвёртую голову дракона.
Способ первый. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра: .
Вершины общего перпендикуляра найдены в предыдущем пункте, и задача элементарна:
Но на практике концы общего перпендикуляра почти всегда неизвестны, и поэтому используют второй способ. В курсе аналитической геометрии выведена специальная формула нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми:
Смешанное произведение векторов уже найдено в пункте «а»: .
Векторное произведение векторов найдено в пункте «бэ»: , вычислим его длину:
Осталось записать ответ, где под пунктами а)-г) гордо выложить 4 трофея.
Что ещё можно рассказать про скрещивающиеся прямые? Между ними определён угол. Но универсальную формулу угла рассмотрим чуть позже.
Автор: Aлeксaндр Eмeлин
© mathprofi.ru — mathter.pro, 2010-2024, сделано в Блокноте.
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми определяется величиной перпендикуляра, заключенного между параллельными плоскостями, которым принадлежат скрещивающиеся прямые. Эти плоскости называют плоскостями параллелизма.
Для того чтобы через скрещивающиеся прямые k и b провести взаимно параллельные плоскости α и β, достаточно через точку A (A ∈ k) провести прямую m, параллельную прямой b, а через точку B (B ∈ b) прямую n, параллельную прямой k.
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Пересекающиеся прямые k и m, b и n определяют взаимно параллельные плоскости α и β. Расстояние между плоскостями α и β равно искомому расстоянию между скрещивающимися прямыми k и b.
В качестве примера решаем задачу на кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми
Расстояние между скрещивающимися прямыми
способом перемены плоскостей проекций. Здесь они заданны отрезками [AB] и [CD]. Кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми способом прямоугольного треугольника
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Здесь скрещивающиеся прямые q и p — через произвольно взятые точки D и K на скрещивающихся прямых q и p проводим прямые m║p и n║q. Таким образом, получаем две параллельные плоскости, каждая из пересекающихся прямых, параллельных друг другу; — через точку K восстанавливаем перпендикуляр к плоскости из пересекающихся прямых p и n, для этого: — построим точки C на прямой n и B на прямой p, соединив которые получим треугольный отсек плоскости CBK; — проводим главные линии плоскости CBK горизонталь h и фронталь f; — находим точку пересечения перпендикуляра и плоскости пересекающихся прямых q и m: — заключаем перпендикуляр в горизонтально проецирующую плоскость γH; — строим линию пересечения 3 — 4 γH и плоскости пересекающихся прямых q и m; — на пересечении линию пересечения 3 — 4 перпендикуляром находим точку A — точку встречи перпендикуляра опущенного из точки K на плоскость пересекающихся прямых q и m; — используя способ прямоугольного треугольника построим действительную величину перпендикуляра [KA] — кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми q и p.
Решение задачи на определение угла между скрещивающимися прямыми смотри в статье: Угол между скрещивающимися прямыми.
Расстояние между скрещивающимися прямыми: формула
Скрещивающиеся прямые — это прямые, не лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся между собой.
Наименьшим расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми является перпендикуляр, опущенный с одной прямой на другую. У каждой пары скрещивающихся прямых при этом есть только один такой общий перпендикуляр.
расстояние между скрещивающимися прямыми. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ» />
Рисунок 1. Кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Статья: Расстояние между скрещивающимися прямыми: формула
Поможем написать реферат за 48 часов
Через каждую из скрещивающихся прямых возможно провести лишь одну плоскость, параллельную второй скрещивающейся прямой, соответственно, для определения расстояния между скрещивающимися прямыми, достаточно определить расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, на которой лежит вторая прямая.
Соответственно, задачу поиска расстояния между прямой и параллельной ей плоскостью можно свести к поиску расстояния между любой точкой, лежащей на вышеозначенной прямой, и плоскостью.
Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми: координатный метод
Рассмотрим методику нахождения расстояния между двумя скрещивающимися прямыми $L_1$ и $L_2$ через координатный метод.
Прежде всего необходимо найти уравнение плоскости $β$, параллельной прямой $L_1$. Для этого необходимо найти векторное произведение направляющих векторов прямых $L_1$ и $L_2$, данное произведение представляет собой координаты нормального вектора плоскости $β$:
«Расстояние между скрещивающимися прямыми: формула» ��
Помощь эксперта по теме работы
Решение задач по учебе за 24 часа
Реферат по этой теме за 48 часов
При вычислении выражения $(1)$ мы получим коэффициенты для общего уравнения плоскости $β$ — $A, B$ и $C$.
Для того чтобы записать всё общее выражение плоскости, подставим координаты любой точки, лежащей на $L_2$ в общую форму, например, можно подставить точку с координатами $(x_2;y_2; z_2)$, получим следующее:
$A (x-x_2) + B (y – y_2) + C(z- z_2) + D=0$.
Теперь достаточно выбрать любую точку на прямой $L_1$, пусть это будет точка $M_1$ с координатами $(x_1;y_1; z_1)$.
Расстояние от плоскости $β$ до точки $M_1$ составит:
где $A, B, C$ и $D$ — коэффициенты уравнения плоскости $β$, а $(x_1;y_1; z_1)$ — координаты точки, лежащей на прямой $L_1$.
Замечание 1
Данная формула позволяет высчитать расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.
Определить расстояние между скрещивающимися прямыми $L_1$ и $L_2$.
Найдём нормальный вектор плоскости, в которой лежит прямая $L_2$, для этого выпишем направляющие вектора для каждой из прямых:
$L_1: \vec= \$, точка на этой прямой — $(2;-1;0)$
$L_2: \vec= \$, точка на этой прямой — $(-1;0;1)$
Теперь найдём векторное произведение векторов $\vec$ и $\vec$, полученный вектор является нормальным вектором плоскости, в которой лежит $L_2 $:
$[\vec\cdot \vec]= \begin <|ccc|>i &j &k \\ 2 &-3 &-1 \\ 1 &-2 &0 \\ \end=((-3) \cdot 0 -2) \cdot \vec + (2 \cdot 0 + 1)\vec + ((-4) + 3) \cdot \vec = -2\vec + \vec -k = \$
Подставим координаты точки $(-1;0;1)$, принадлежащей прямой $L_2$, в общее уравнение плоскости:
$-2 \cdot (x+1) + (y-0) – 1 \cdot(z-1)=0$
Упрощаем и в конечном итоге имеем следующее уравнение плоскости:
Теперь, используя координаты точки $(2;-1;0)$, лежащей на первой прямой, можно воспользоваться формулой $(2)$ для вычисления расстояния между двумя скрещивающимися прямыми:
Координатная формула вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми
Также аналогичное уравнение для поиска расстояния между скрещивающимися прямыми можно использовать сразу в полной координатной форме:
$ρ=\frac <|ccc|>l_1 & m_1 &n_1\\ l_2 &m_2 &n_2\\ (x_2 – x_1) &(y_2-y_1) &(z_2-z_1) \\ \end><\sqrt <|cc|>m_1 &n_1 \\ m_2 &n_2 \\ \end^2 + \begin <|cc|>l_1 &n_1 \\ l_2 &n_2 \\ \end^2 + \begin <|cc|>l_1 &m_1 \\ l_2 &m_2 \\ \end^2>>\left(3\right)$
Для того чтобы воспользоваться данной формулой, возможно нужно освежить в памяти способы нахождения определителей матриц.
Найти расстояние между вышеприведёнными прямыми с помощью формулы $(3)$.
Выпишем сначала точки, принадлежащие данным прямым и их направляющие векторы:
$L_1$ имеет направляющий вектор $\$, а принадлежащая ей точка имеет координаты $(2; -1; 0)$.
$L_2$ имеет направляющий вектор $\$, а принадлежащая ей точка имеет координаты $(-1; 0; 1)$.
Воспользуемся формулой $(3)$:
Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми
\(\blacktriangleright\) Скрещивающиеся прямые – это прямые, через которые нельзя провести одну плоскость.
Признак скрещивающихся прямых: если первая прямая пересекает плоскость, в которой лежит вторая прямая, в точке, не лежащей на второй прямой, то такие прямые скрещиваются.
\(\blacktriangleright\) Т.к. через одну из скрещивающихся прямых проходит ровно одна плоскость, параллельная другой прямой, то расстояние между скрещивающимися прямыми — это расстояние между одной из этих прямых и плоскостью, проходящей через вторую прямую параллельно первой.
Таким образом, если прямые \(a\) и \(b\) скрещиваются, то:
Шаг 1. Провести прямую \(c\parallel b\) так, чтобы прямая \(c\) пересекалась с прямой \(a\) . Плоскость \(\alpha\) , проходящая через прямые \(a\) и \(c\) , и будет плоскостью, параллельной прямой \(b\) .
Шаг 2. Из точки пересечения прямых \(a\) и \(c\) ( \(a\cap c=H\) ) опустить перпендикуляр \(HB\) на прямую \(b\) (первый способ).
Или из любой точки \(B’\) прямой \(b\) опустить перпендикуляр на прямую \(c\) (второй способ).
В зависимости от условия задачи какой-то из этих двух способов может быть гораздо удобнее другого.
Задание 1 #2452
Уровень задания: Легче ЕГЭ
В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) , ребро которого равно \(\sqrt\) , найдите расстояние между прямыми \(DB_1\) и \(CC_1\) .
Прямые \(DB_1\) и \(CC_1\) скрещиваются по признаку, т.к. прямая \(DB_1\) пересекает плоскость \((DD_1C_1)\) , в которой лежит \(CC_1\) , в точке \(D\) , не лежащей на \(CC_1\) .
Расстояние между скрещивающимися прямыми будем искать как расстояние между прямой \(CC_1\) и плоскостью, проходящей через \(DB_1\) параллельно \(CC_1\) . Т.к. \(DD_1\parallel CC_1\) , то плоскость \((B_1D_1D)\) параллельна \(CC_1\) .
Докажем, что \(CO\) – перпендикуляр на эту плоскость. Действительно, \(CO\perp BD\) (как диагонали квадрата) и \(CO\perp DD_1\) (т.к. ребро \(DD_1\) перпендикулярно всей плоскости \((ABC)\) ). Таким образом, \(CO\) перпендикулярен двум пересекающимся прямым из плоскости, следовательно, \(CO\perp (B_1D_1D)\) .
\(AC\) , как диагональ квадрата, равна \(AB\sqrt2\) , то есть \(AC=\sqrt\cdot \sqrt2=8\) . Тогда \(CO=\frac12\cdot AC=4\) .
Задание 2 #2453
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) . Найдите расстояние между прямыми \(AB_1\) и \(BC_1\) , если ребро куба равно \(a\) .
1) Заметим, что эти прямые скрещиваются по признаку, т.к. прямая \(AB_1\) пересекает плоскость \((BB_1C_1)\) , в которой лежит \(BC_1\) , в точке \(B_1\) , не лежащей на \(BC_1\) .
Расстояние между скрещивающимися прямыми будем искать как расстояние между прямой \(BC_1\) и плоскостью, проходящей через \(AB_1\) параллельно \(BC_1\) .
Для этого проведем \(AD_1\) — она параллельна \(BC_1\) . Следовательно, по признаку плоскость \((AB_1D_1)\parallel BC_1\) .
2) Опустим перпендикуляр \(C_1H\) на эту плоскость и докажем, что точка \(H\) упадет на продолжение отрезка \(AO\) , где \(O\) – точка пересечения диагоналей квадрата \(A_1B_1C_1D_1\) .
Действительно, т.к. по свойству квадрата \(C_1O\perp B_1D_1\) , то по теореме о трех перпендикуляр проекция \(HO\perp B_1D_1\) . Но \(\triangle AB_1D_1\) равнобедренный, следовательно, \(AO\) – медиана и высота. Значит, точка \(H\) должна лежать на прямой \(AO\) .
3) Рассмотрим плоскость \((AA_1C_1)\) .
\(\triangle AA_1O\sim \triangle OHC_1\) по двум углам ( \(\angle AA_1O=\angle OHC_1=90^\circ\) , \(\angle AOA_1=\angle HOC_1\) ). Таким образом,
По теореме Пифагора из \(\triangle AA_1O\) : \[AO=\sqrt2>=\dfrac2a.\]
Следовательно, из \((*)\) теперь можно найти перпендикуляр
Задание 3 #2439
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) . Найдите расстояние между прямыми \(A_1B\) и \(AC_1\) , если ребро куба равно \(\sqrt6\) .
По определению угол между скрещивающимися прямыми — это угол между одной прямой и плоскостью, проходящей через вторую прямую параллельно первой. Найдем плоскость, проходящую через \(A_1B\) параллельно \(AC_1\) .
Заметим, что данные прямые являются скрещивающимися. Т.к. \(B_1C_1\perp (AA_1B_1)\) , то проекция наклонной \(AC_1\) на эту плоскость – это прямая \(AB_1\) .
Пусть \(AB_1\cap A_1B=O\) . Опустим из точки \(O\) на \(AC_1\) перпендикуляр \(OK\) и докажем, что это и есть искомое расстояние. Т.к. по определению расстояние между скрещивающимися прямыми – длина отрезка, перпендикулярного обеим прямым, то осталось доказать, что \(OK\) перпендикулярен прямой \(A_1B\) .
Действительно, проведем \(KH\parallel B_1C_1\) (следовательно, \(H\in AB_1\) ). Тогда т.к. \(B_1C_1\perp (AA_1B_1)\) , то и \(KH\perp (AA_1B_1)\) . Тогда по теореме о трех перпендикулярах (т.к. проекция \(HO\perp A_1B\) ) наклонная \(KO\perp A_1B\) , чтд.
Таким образом, \(KO\) – искомое расстояние.
Заметим, что \(\triangle AOK\sim \triangle AC_1B_1\) (по двум углам). Следовательно,