однородные и неоднородные дифференциальные уравнения
Пусть L(d/dx) — дифференциальный оператор. Тогда уравнение вида L(d/dx) y(x) = 0 называется однородным, а уравнение вида L(d/dx) y(x) = f(x) — неоднородным. Вот и вся разница. В первом из приведённых Вами уравнений нельзя выделить слагаемое, зависящее только от х, а во втором уравнении такое слагаемое есть (это x^2). Поэтому первое уравнение однородное, а второе — неоднородное.
Остальные ответы
Похожие вопросы
Чем отличается однородное от неоднородного дифференциального уравнения
Лекция 13. Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения
Лекция из курса:
Поделиться:
Лекция 13. Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения
1 / Загрузка
Скачать конспект лекции
Предыдущая лекция
Лекция 12. Методы решения линейного дифференциального уравнения
Следующая лекция
Лекция 14. Периодические системы дифференциальных уравнений
Мы в соцсетях:
© 2024 МГУ имени М. В. Ломоносова
Нашли ошибку или баг? Сообщите нам!
Ваши комментарии о найденых ошибках в лекциях, конспектах или о баге
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
На данном уроке мы рассмотрим так называемые однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Наряду с уравнениями с разделяющимися переменными и линейными неоднородными уравнениями этот тип ДУ встречается практически в любой контрольной работе по теме диффуров. Если Вы зашли на страничку с поисковика или не очень уверенно ориентируетесь в дифференциальных уравнениях, то сначала настоятельно рекомендую проработать вводный урок по теме – Дифференциальные уравнения первого порядка. Дело в том, что многие принципы решения однородных уравнений и используемые технические приемы будут точно такими же, как и для простейших уравнений с разделяющимися переменными.
В чём отличие однородных дифференциальных уравнений от других типов ДУ? Это проще всего сразу же пояснить на конкретном примере.
Решить дифференциальное уравнение
Решение: что в первую очередь следует проанализировать при решении любого дифференциального уравнения первого порядка? В первую очередь нужно проверить, а нельзя ли сразу разделить переменные с помощью «школьных» действий? Обычно такой анализ проводят мысленно или пытаются разделить переменные на черновике.
В данном примере переменные разделить нельзя (можете попробовать поперекидывать слагаемые из части в часть, повыносить множители за скобки и т. д.). Кстати, в данном примере, тот факт, что переменные разделить нельзя, достаточно очевиден ввиду наличия множителя .
Возникает вопрос – как же решить этот диффур?
Нужно проверить, а не является ли данное уравнение однородным? Проверка несложная, и сам алгоритм проверки можно сформулировать так:
В исходное уравнение:
вместо подставляем , вместо подставляем , производную не трогаем:
Буква лямбда – это условный параметр, и здесь он играет следующую роль: если в результате преобразований удастся «уничтожить» ВСЕ лямбды и получить исходное уравнение, то данное дифференциальное уравнение является однородным.
Очевидно, что лямбды сразу сокращаются в показателе степени:
Теперь в правой части выносим лямбду за скобки:
и обе части делим на эту самую лямбду:
В результате все лямбды исчезли как сон, как утренний туман, и мы получили исходное уравнение.
Вывод: Данное уравнение является однородным
Поначалу рекомендую проводить рассмотренную проверку на черновике, хотя очень скоро она будет получаться и мысленно.
Как решить однородное дифференциальное уравнение?
У меня очень хорошая новость. Абсолютно все однородные уравнения можно решить с помощью одной-единственной (!) стандартной замены.
Функцию «игрек» следует заменить произведением некоторой функции (тоже зависящей от «икс») и «икса»:
, почти всегда пишут коротко:
Выясняем, во что превратится производная при такой замене, используем правило дифференцирования произведения. Если , то:
Подставляем и в исходное уравнение :
Что даст такая замена? После данной замены и проведенных упрощений мы гарантировано получим уравнение с разделяющимися переменными. ЗАПОМИНАЕМ как первую любовь:) и, соответственно, .
После подстановки проводим максимальные упрощения:
Далее алгоритм работает по накатанной колее уравнения с разделяющимися переменными.
Поскольку – это функция, зависящая от «икс», то её производную можно записать стандартной дробью: .
Таким образом:
Разделяем переменные, при этом в левой части нужно собрать только «тэ», а в правой части – только «иксы»:
Переменные разделены, интегрируем:
Согласно моему первому техническому совету из статьи Дифференциальные уравнения первого порядка, константу во многих случаях целесообразно «оформить» в виде логарифма.
После того, как уравнение проинтегрировано, нужно провести обратную замену, она тоже стандартна и единственна:
Если , то
В данном случае:
В 18-19 случаях из 20 решение однородного уравнения записывают в виде общего интеграла.
Ответ: общий интеграл:
Почему почти всегда ответ однородного уравнения даётся в виде общего интеграла?
В большинстве случаев невозможно выразить «игрек» в явном виде (получить общее решение), а если и возможно, то чаще всего общее решение получается громоздким и корявым.
Так, например, в рассмотренном примере, общее решение получить можно, навешиваем логарифмы на обе части общего интеграла:
– ну, еще куда ни шло. Хотя, согласитесь, все равно кривовато.
Кстати, в данном примере я не совсем «прилично» записал общий интеграл. Это не ошибка, но в «хорошем» стиле, напоминаю, общий интеграл принято записывать в виде . Для этого сразу после интегрирования уравнения, константу следует записать без всякого логарифма (вот и исключение из правила!):
И после обратной замены получить общий интеграл в «классическом» виде:
Полученный ответ можно проверить. Для этого его нужно продифференцировать, то есть найти производную от функции, заданной неявно:
Избавляемся от дробей, умножая каждую часть уравнения на :
Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, решение найдено правильно.
Желательно всегда проводить проверку. Но однородные уравнения неприятны тем, что проверять их общие интегралы обычно трудно – для этого необходима весьма и весьма приличная техника дифференцирования. В рассмотренном примере в ходе проверки уже пришлось находить не самые простые производные (хотя сам по себе пример достаточно простой). Если сможете проверить – проверяйте!
Следующий пример для самостоятельного решения – чтобы вы освоились в самом алгоритме действий:
Проверить уравнение на однородность и найти его общий интеграл.
Ответ записать в виде , выполнить проверку.
. Тут тоже получилась довольно простенькая проверка.
А теперь обещанный важный момент, упомянутый ещё в самом начале темы,
выделю жирными чёрными буквами:
Если в ходе преобразований мы «сбрасываем» множитель с переменной в знаменатель, то РИСКУЕМ потерять решения!
И на самом деле с этим мы столкнулись в первом же примере вводного урока о дифференциальных уравнениях. В процессе решения уравнения «игрек» оказался в знаменателе: , но , очевидно, является решением ДУ и в результате неравносильного преобразования (деления) есть все шансы его потерять! Другое дело, что оно вошло в общее решение при нулевом значении константы. Сброс «икса» в знаменатель тоже можно не принимать во внимание, т. к. не удовлетворяет исходному диффуру.
Аналогичная история с третьим уравнением того же урока, в ходе решения которого мы «сбросили» в знаменатель. Строго говоря, здесь следовало проверить, а не является ли решением данного диффура? Ведь является! Но и тут «всё обошлось», поскольку эта функция вошла в общий интеграл при .
И если с «разделяющимися» уравнениями такое часто 😉 «прокатывает», то с однородными и некоторыми другими диффурами может и «не прокатить». С высокой вероятностью.
Проанализируем уже прорешанные задачи этого урока: в Примерах 1-2 «сброс» икса тоже оказался безопасен, ибо там есть и , а посему сразу понятно, что не может быть решением. Кроме того, в Примере 2 в знаменателе оказался , и здесь мы рисковали потерять функцию , которая, очевидно, удовлетворяет уравнению . Однако, и тут «пронесло», т. к. она вошла в общий интеграл при нулевом значении константы.
Но «счастливые случаи» я, конечно же, устроил специально, и не факт, что на практике попадутся именно они:
Решить дифференциальное уравнение
Не правда ли простой пример? 😉
Решение: однородность этого уравнения очевидна, но всё равно – на первом шаге ОБЯЗАТЕЛЬНО проверяем, нельзя ли разделить переменные. Ибо уравнение тоже однородно, но переменные в нём преспокойно разделяются. Да, бывают и такие!
После проверки на «разделяемость» проводим замену и максимально упрощаем уравнение:
Разделяем переменные, слева собираем «тэ», справа – «иксы»:
И вот здесь СТОП. При делении на мы рискуем потерять сразу две функции. Так как , то это функции:
Первая функция, очевидно, является решением уравнения . Проверяем вторую – подставляем и её производную в наш диффур:
– получено верное равенство, значит, функция тоже является решением.
И эти решения мы рискуем потерять.
Кроме того, в знаменателе оказался «икс», и поэтому обязательно проверяем, не является ли решением исходного дифференциального уравнения. Нет, не является.
Берём всё это на заметку и продолжаем:
Надо сказать, с интегралом левой части повезло, бывает гораздо хуже.
Перед обратной заменой максимально упрощаем общий интеграл. Если есть дроби, то от них лучше избавиться, умножаем каждую часть на 2:
Константу я переобозначу через :
(если этот момент не понятен, читайте статью Дифференциальные уравнения первого порядка)
Собираем в правой части единый логарифм, и сбрасываем оковы:
И вот только теперь обратная замена :
Умножим все слагаемые на :
Теперь следует проверить – вошли ли в общий интеграл «опасные» решения . Да, оба решения вошли в общий интеграл при нулевом значении константы: , поэтому их не нужно дополнительно указывать в ответе:
Проверка. Даже не проверка, а сплошное удовольствие:)
Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, решение найдено верно.
Для самостоятельного решения:
Выполнить проверку на однородность и решить дифференциальное уравнение
Общий интеграл проверить дифференцированием.
Полное решение и ответ в конце урока.
Рассмотрим ещё пару типовых примеров:
Решить дифференциальное уравнение
Решение будем привыкать оформлять компактнее. Сначала мысленно либо на черновике убеждаемся в том, что переменные тут разделить нельзя, после чего проводим проверку на однородность – на чистовике её обычно не проводят (если специально не требуется). Таким образом, почти всегда решение начинается с записи: «Данное уравнение является однородным, проведем замену: …».
. замену , и идём проторенной дорогой:
С «иксом» тут всё в порядке, но вот что с квадратным трёхчленом? Поскольку он неразложим на множители: , то решений мы точно не теряем. Всегда бы так! Выделяем в левой части полный квадрат и интегрируем:
Упрощать тут нечего, а посему обратная замена :
Ответ: общий интеграл:
Следующий пример для самостоятельного решения:
Решить дифференциальное уравнение
. Казалось бы похожие уравнения, ан нет – Большая разница 😉
И сейчас начинается самое интересное! Сначала разберёмся, как быть, если однородное уравнение задано с готовыми дифференциалами:
Решить дифференциальное уравнение
Это очень интересный пример, прямо целый триллер!
Решение: если однородное уравнение содержит готовые дифференциалы, то его можно решить модифицированной заменой:
Но я не советую использовать такую подстановку, поскольку получится Великая китайская стена дифференциалов, где нужен глаз да глаз. С технической точки зрения выгоднее перейти к «штриховому» обозначению производной, для этого делим обе части уравнения на :
И уже здесь мы совершили «опасное» преобразование! Нулевому дифференциалу соответствует – семейство прямых, параллельных оси . Являются ли они корнями нашего ДУ? Подставим и в исходное уравнение:
Данное равенство справедливо, если , то есть при делении на мы рисковали потерять решение , и мы его потеряли – так как оно уже не удовлетворяет полученному уравнению .
Следует заметить, что если бы нам изначально было дано уравнение , то о корне речи бы не шло. Но у нас он есть, и мы его вовремя «отловили».
Продолжаем решение стандартной заменой :
:
После подстановки максимально упрощаем уравнение:
И вот здесь снова СТОП: при делении на мы рискуем потерять две функции. Так как , то это функции:
Очевидно, что первая функция является решением уравнения . Проверяем вторую – подставляем и её производную :
– получено верное равенство, значит, функция тоже является решением дифференциального уравнения.
И при делении на мы эти решения рискуем потерять. Впрочем, они могут войти в общий интеграл. Но могут и не войти
Берём это на заметку и интегрируем обе части:
Интеграл левой части стандартно решается с помощью выделения полного квадрата, но в диффурах гораздо удобнее использовать метод неопределенных коэффициентов:
Используя метод неопределенных коэффициентов, разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
– так как у нас нарисовались одни логарифмы, то константу тоже заталкиваем под логарифм.
Перед обратной заменой снова упрощаем всё, что можно упростить:
И обратная замена :
Теперь вспоминаем о «потеряшках»: решение вошло в общий интеграл при , а вот – «пролетело мимо кассы», т. к. оказалось в знаменателе. Поэтому в ответе оно удостаивается отдельной фразы, и да – не забываем о потерянном решении , которое, к слову, тоже оказалось внизу.
Ответ: общий интеграл: . Ещё решения:
Здесь не так трудно выразить общее решение:
, но это уже понты.
Удобные, впрочем, для проверки. Найдём производную:
и подставим в левую часть уравнения:
– в результате получена правая часть уравнения, что и требовалось проверить.
Теперь квест с корнями, это тоже распространенный и очень коварный случай:
Решить дифференциальное уравнение
Решение: устно убеждаемся, что уравнение однородно и подставляем первую любовь , в исходное уравнение:
И опасность нас поджидает уже тут. Дело в том, что , и этот факт очень легко упустить из виду:
Теперь раскрываем модуль, в результате чего получаются две ветки решения:
, если , и
, если .
Обе ветки удобно записать единым уравнением, при этом возможны следующие варианты оформления:
, где «сигнум икс» – специальная функция, которая возвращает знак «икс»: , пользуйтесь смело, это известная функция.
Второй способ более привычен, выберу его в качестве рабочего варианта:
, но здесь ОБЯЗАТЕЛЬНО нужен комментарий о том, что знак «+» соответствует случаю , а знак «–» – случаю .
Внимание! Функцию или знаки «отрывать» от корня нельзя! Это может закончиться фатальной ошибкой. Поэтому при разделении переменных знаки мигрируют вместе с корнем в левую часть:
(контролируем, что – не решение)
навешиваем интегралы:
и сейчас вторая новинка, на этот раз по теме «Интегралы». Интеграл , как многие помнят, равен табличному «длинному» логарифму , а интеграл от не только тому же логарифму со знаком «минус», но и его «собрату»: . Желающие могут проверить этот факт дифференцированием.
И в нашем случае общий интеграл удобно записать так:
Упаковываем логарифмы правой части:
…возможно, у некоторых возник вопрос, почему я иногда вдруг убираю модуль под логарифмом? Причина проста – выражение под знаком логарифма, в данном случае , положительно, а значит, модуль записывать не обязательно.
и вот только теперь обратная замена :
Под корнем приведём слагаемые к общему знаменателю:
и небольшое чудо: поскольку , то в результате раскрытия модуля у нас появляются те же два случая со знаками :
после чего «минусы» сокращаются:
Таким образом, потеря второй ветки решения () нам бы здесь тоже «сошла с рук», но так, разумеется, бывает не всегда, и эту ветку можно реально потерять.
И заключительный штрих, сбрасываем на нижний этаж левой части:
Ответ: общий интеграл:
Я выполнил проверку общего интеграла, но приводить её не буду, а то вы больше не придете к такому маньяку. Да, попробуйте для интереса найти производную. Времяпровождение получите из разряда тех, о которых долго вспоминают. И гордятся.
И в заключение урока своего рода экзаменационный пример:
Решить дифференциальное уравнение
Проконтролируйте, всё ли вы правильно поняли, всё ли учли.
Итак:
при неравносильных преобразованиях ВСЕГДА проверяйте (по крайне мере, устно), не теряете ли вы решения! Какие это преобразования? Как правило, сокращение на что-то, деление на что-то, вынесение из-под корня / внесение под корень. Так, например, при делении на нужно проверить, не являются ли функции решениями дифференциального уравнения. В то же время при делении на надобность такой проверки отпадает – по причине того, что этот делитель не обращается в ноль.
Если проводится замена и есть квадратный корень, то легче лёгкого потерять одну из веток решения, поэтому не забываем про модуль: , и далее сохраняем знаки при корне, несоблюдение этого правила может привести к ошибочному ответу.
Вот ещё одна опасная ситуация:
Здесь, избавляясь от , следует проверить, не является ли решением исходного ДУ. Часто в качестве такого множителя встречается «икс», «игрек», и сокращая на них, мы теряем функции , которые могут оказаться решениями.
С другой стороны, если что-то ИЗНАЧАЛЬНО находится в знаменателе, то повода для такого беспокойства нет. Так, в однородном уравнении можно не беспокоиться о функции , так как она изначально «заявлена» в знаменателе.
Перечисленные тонкости не теряют актуальность, даже если в задаче требуется найти только частное решение. Существует пусть маленький, но шанс, что мы потеряем именно требуемое частное решение. Правда, задача Коши в практических заданиях с однородными уравнениями запрашивается довольно редко (уж не знаю, почему). Тем не менее, такие примеры есть в статье Уравнения сводящиеся к однородным, которую я рекомендую изучить «по горячим следам» чтобы закрепить свои навыки решения.
Существуют и более сложные однородные уравнения. Сложность состоит не в замене переменной или упрощениях, а в достаточно трудных или редких интегралах, которые возникают в результате разделения переменных. У меня есть примеры решений таких однородных уравнений – страшненькие интегралы и страшненькие ответы. Но о них не будем, потому что на ближайших уроках (см. ниже) ещё успею вас замучить я хочу вас видеть свежими и оптимистичными!
Решения и ответы:
Пример 2. Решение: проверим уравнение на однородность, для этого в исходное уравнение вместо подставим , а вместо подставим :
В результате получено исходное уравнение, значит, данное ДУ является однородным.
Проведем замену:
Подставим и в исходное уравнение:
Разделяем переменные и интегрируем:
Перед обратной заменой результат целесообразно упростить:
Ответ: общий интеграл:
Проверка: дифференцируем ответ:
умножаем обе части на :
и делим на :
– получено исходное ДУ, значит, общий интеграл найден верно.
Пример 4. Решение: проверим уравнение на однородность:
Таким образом, данное уравнение является однородным.
Проведем замену:
После подстановки проводим максимальные упрощения:
Разделяем переменные и интегрируем:
Контроль:
– не является решением уравнения ,
а вот , очевидно, является.
Интегрируем:
и перед обратной заменой записываем уравнение как можно компактнее:
Проведём обратную замену :
Решение в общий интеграл не вошло, и поэтому его следует дополнительно прописать в ответе:
общий интеграл: . Ещё одно решение:
Проверка:
– в результате получено исходное дифференциальное уравнение, значит, решение найдено верно.
Пример 6. Решение: данное ДУ является однородным, проведем замену :
Контроль: не является решением, а вот трёхчлен раскладывается на множители: , и поэтому в поле нашего пристального внимания попадают две функции:
Обе функции являются корнями ДУ (проверьте самостоятельно), и в результате деления мы рискуем потерять эти решения!
Берём их на заметку и продолжаем:
Методом неопределенных коэффициентов получим сумму дробей:
Получившийся общий интеграл упрощаем:
И после упрощений выполняем обратную замену :
На последнем рубеже вспоминаем о «потеряшках»: функция вошла в общий интеграл (при ), однако – НЕ вошла, и поэтому её необходимо приписать дополнительно:
Ответ: общий интеграл: . Еще одно решение:
Пример 9. Решение: разделим обе части на :
! является решением исходного уравнения.
Данное уравнение является однородным, проведем замену :
Разделяем переменные, при этом функцию следует обязательно оставить при корне:
(поскольку , если )
Контроль: оказался в знаменателе, а значит, проверке подлежит функция . Подставляем её вместе с её производной в исходное уравнение:
– получено верное равенство, значит, – это одно из решений ДУ.
Решение не вошло в общий интеграл, и поэтому его следует дополнительно указать в ответе.
Ответ: общий интеграл: , ещё решения: .
Примечание: если по условию требуется найти частное решение, например, с начальным условием , то следует выбрать нужную ветку: (т. к. «икс» равно ) и выполнить подстановку: – искомый частный интеграл.
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено
Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения
Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
Рассмотрим дифференциальное уравнение, где — вещественные постоянные,
Для нахождения общего решения уравнения (9) поступаем так. Составляем характеристическое уравнение для уравнения (9):
Пусть корни уравнения (10), причем среди них могут быть и кратные.
Возможны следующие случаи:
а) — вещественные и различные. Тогда фундаментальная система решений уравнения (9) имеет вид
и общим решением однородного уравнения будет
б) корни характеристического уравнения вещественные, но среди них есть кратные. Пусть, например, , т. е. является k-кратным корнем уравнения (10), а все остальные
а общее решение
в) среди корней характеристического уравнения есть комплексные. Пусть для определенности a остальные корни вещественные (так как по предположению коэффициенты уравнения (9) вещественные, то комплексные корни уравнения (10) попарно сопряженные).
Фундаментальная система решений в этом случае будет иметь вид
а общее решение
г) в случае, если является k-кратным корнем уравнения (10) , то также будет k-кратным корнем, и фундаментальная система решений будет иметь вид
а следовательно, общее решение
Примеры однородных дифференциальных уравнений
Пример 1. Найти общее решения уравнения .
Решение. Составляем характеристическое уравнение . Находим его корни: . Так как они действительные и различные, то общее решение имеет вид
Пример 2. Найти общее решение уравнения .
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид . Отсюда . Корни действительные, причем один из них, а именно
Пример 3. Найти общее решение уравнения .
Решение. Характеристическое уравнение имеет корни .
Пример 4. Найти общее решение уравнения .
Решение. Характеристическое уравнение
имеет корни — пара двукратных мнимых корней. Общее решение есть
Пример 5. Решить уравнение .
Решение. Составляем характеристическое уравнение
Оно имеет двукратные комплексные корни и, следовательно, общее решение будет иметь вид
Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами
Метод подбора. Пусть дано дифференциальное уравнение с постоянными вещественными коэффициентами
Теорема. Общее решение неоднородного уравнения (11) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения.
Отыскание общего решения соответствующего однородного уравнения осуществляется по правилам, изложенным в пункте 2. Таким образом, задача интегрирования уравнения (11) сводится к отысканию частного решения неоднородного уравнения. В общем случае интегрирование уравнения (11) может быть осуществлено методом вариации произвольных постоянных (см. ниже пункт 5°). Для правых частей специального вида часто решение находится проще, так называемым методом подбора . Общий вид правой части уравнения (11), при котором возможно применить метод подбора, следующий:
где и суть многочлены степени уравнения (11) ищется в виде
Таблица 1. Сводная таблица видов частных решений для различных видов правых частей