Какой цифрой оканчивается число 2 2011

Какой цифрой оканчивается число 2 2011

Полезно запомнить следующее правило: последняя цифра произведения двух чисел равна последней цифре произведения последних цифр сомножителей. В частности, последняя цифра произведения зависит только от последних цифр сомножителей.

а) Начнём выписывать последние цифры степеней двойки. На каждом шаге будем умножать результат предыдущего шага на 2 и, если получается двузначное число, брать его последнюю цифру. Получим: 2 1 = 2, 2 4 =4, 2 3 =8, 2 4 = 16 → 6, 2 5 → 6·2 = 12 → 2, 2 6 → 2· 2 = 4, 2 7 → 4· 2 = 8, 2 8 → 8· 2 = 16 → 6, и т. д. Заметим, что последние цифры чередуются в такой последовательности: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6. При этом последняя цифра степени зависит от того, с каким остатком показатель степени делится на 4. В частности, всегда, когда показатель степени делится на 4 без остатка (как 4, 8, 100), последняя цифра степени равна 6.

б) Последняя цифра числа 549 49 совпадает с последней цифрой числа 9 49 . Последние цифры степеней девятки чередуются так: 9, 1, 9, 1, 9, 1. То есть если показатель степени нечётный, степень оканчивается на 9. Значит, и число 9 49 , и исходное число 549 49 оканчиваются на 9.

в) Последняя цифра числа 2013 2013 совпадает с последней цифрой числа 3 2013 . Последние цифры степеней тройки чередуются так: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1. То есть последняя цифра степени зависит от того, с каким остатком показатель степени делится на 4. В частности, всегда, когда показатель степени делится на 4 с остатком 1 (как 1, 5, 2013), последняя цифра степени равна 3. А значит, и последняя цифра числа 2013 2013 равна 3.

2. В книге рекордов Гиннеса написано, что наибольшее известное простое число равно (23021 337 − 1). Не опечатка ли это?

Решение. Число 23021 337 оканчивается единицей (это проверяется аналогично решению задачи 1). Поэтому последняя цифра числа (23021 337 − 1) равна 0, а значит, это число делится на 10 и потому составное.

3. В магазин привезли 206 литров молока в бидонах по 10 и 17 литров. Сколько было бидонов каждого вида?

Ответ. Семь десятилитровых и восемь семнадцатилитровых.

Решение. Нужно взять несколько слагаемых по 10 л и несколько слагаемых по 17 л так, чтобы сумма была равна 206 л (в частности, чтобы последняя цифра суммы равнялась 6). Количество десятилитровых бидонов не влияет на последнюю цифру суммы. Значит, надо только выяснить, сколько должно быть 17-литровых бидонов, чтобы их суммарный объём оканчивался цифрой 6. Для этого количество 17-литровых бидонов должно оканчиваться на 8 (проверьте, что это правда и что другие варианты не подходят). То есть 17-литровых бидонов может быть 8, 18, 28, и т.д. Но если их хотя бы 18, то их общий объём составляет по крайней мере 18·17 = 306 л, что больше, чем 206 л. Значит, 17-литровых бидонов будет 8, и их общий объём будет равен 136 л. Тогда десятилитровые бидоны должны иметь общий объем 70 л, а для этого их должно быть 7.

4. Делится ли число 47 30 +39 50 на 10?

Решение. Число 47 30 оканчивается цифрой 9, а число 39 50 — цифрой 1 (это проверяется аналогично решению задачи 1). Значит, их сумма оканчивается на 0 и потому делится на 10.

5. Найдите последнюю цифру в произведении всех нечётных чисел от 1 до 2013.

Решение. Это произведение делится на 5, но не делится на 2. Поэтому в силу признаков делимости на 2 и 5 оно может оканчиваться только цифрой 5.

6. Сколькими нулями оканчивается число 2013! = 1·2·3·. ·2011·2012·2013 ?

Если мы разложим число 2013! на простые множители, то количество нулей на конце этого числа будет равно степени, в которой в это разложение входит пятёрка. (В самом деле, 10 = 2·5, а двойка заведомо войдёт в разложение в большей степени, чем пятёрка.)

2013 = 5·402 + 3. Поэтому среди чисел от 1 до 2013 ровно 402 числа делятся на 5. Аналогичным образом выясним, что из этих чисел ещё 80 делятся на 25, то есть на 5 2 , ещё 16 делятся на 125, то есть на 5 3 , и ещё 3 числа делятся на 625, то есть на 5 4 . Итого 402+80+16+3 = 501, то есть в разложение числа 2013! пятёрка входит в степени 501. Поэтому 2013! оканчивается 501 нулём.

7. Докажите, что среди квадратов любых пяти натуральных чисел всегда можно выбрать два, сумма или разность которых делится на 10.

Решение. Квадрат любого натурального числа оканчивается на 0, 1, 4, 5, 6 или 9 (проверяем для чисел от 1 до 10, дальше последние цифры повторяются в той же последовательности). Если в наборе есть два квадрата, оканчивающиеся на две одинаковые цифры, при их вычитании получится число с нулём на конце, а значит, делящееся на 10. Если же все пять последних цифр квадратов в наборе различны, то среди них обязательно будет либо пара (4, 6), либо пара (1, 9). Тогда сложим эти квадраты и тоже получим число с нулём на конце, а значит, делящееся на 10.

8. Найдите последнюю цифру числа 7 7 7 . Степени считаются сверху вниз: 7 7 7 =7 (7 7 ) .

Решение. Последние две цифры числа 7 7 образуют число 43 (это можно вычислить непосредственно, отбрасывая при каждом умножении все цифры результата, кроме последних двух). Значит, число 7 7 делится на 4 с остатком 3. Степени семёрки могут оканчиваться на 7, 9, 3 или 1 (в зависимости от того, с каким остатком делится на 4 показатель степени). В нашем случае 43 делится на 4 с остатком 3, значит, и 7 7 делится на 4 с остатком 3 (согласно признаку делимости на 4). А у всех степеней семёрки, показатели которых делятся на 4 с остатком 3, последняя цифра равна 3.

9. На доске было написано число из нескольких семёрок: 777. 77. Влад стёр у этого числа последнюю цифру, полученное число умножил на 3 и к произведению прибавил стёртую цифру. С полученным числом он проделал ту же операцию, и так далее. Докажите, что через некоторое время у него получится число 7.

Решение. При каждой операции из числа 10 х + у получается число 3 х + у (здесь y — последняя цифра исходного числа). Разность этих чисел равна 10 x + y − (3 x + y ) = 7 х и значит, делится на 7. Значит, при каждом шаге делимость числа на 7 сохраняется (исходное число, очевидно, делилось на 7), а само число уменьшается. Поскольку операцию можно проделывать с любым натуральным числом, в котором больше одной цифры, мы рано или поздно получим однозначное число, кратное 7.

• ЗАДАЧИ
• 6 класс
• Письменная работа
• Задачи для знакомства
• Ацнок с зиланА
• Чётность
• Делимость
• В триодиннадцатом королевстве
• Алгоритмы
• Математические игры
• Движение и работа
• Геометрия
• Комбинаторика
• Комбинаторика — 2
• Задачи на повторение
• Математическая абака
• География и путешествия
• Признаки делимости
• Последовательности
• От противного
• Графы
• Шахматы
• Раскраски
• Последняя цифра
• Оценка плюс пример
• Лингвистика
• История математики
• ЗАДАЧИ ДОП. НАБОРОВ
• Доп. набор 1
• Доп. набор 2

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter!

Какой цифрой оканчивается число 2²⁰¹¹​

Дана функция у = 0.5x — 1 . 1. Не строя Гр, определи координаты точек пересечения Гр с осями координат 2. Используя полученные точки, построй ГР 3 … . По Гр найди: x=-2, y= x = 1 y= y = — 3 x= y = 2 x =

2)5/ 8 ee равны 30 дм;​
Скільки з-поміж чисел 5;7; -1/3;0;-4;2;8;58;-8;100 невід’ємних чисел?

Каждое число числового набора Z сначала увеличили в 4 раза, а затем сложили с числом 4,7. Получился числовой набор А. Каким — будет а, если z = 17,06? … ​

какой цифрой оканчивается число 2 в степени 2011?

При возведении числа два в степень два, три, четыре, пять, шесть и т. д. проследи за последней цифрой:

2,4,8,16,32,64,128,256 и т. д.

Последняя цифра меняется так: 2,4,8,6,2,4,8,6 и т. д. (через каждые 4 цифры цифра повторяется) .

2011 делится на 4 с остатком 3.

Число 2 в 2011 степени оканчивается цифрой 8.

Источник: ОТВЕТЫ!
Остальные ответы

Выявим закономерность окончаний 2^1, 2^2, 2^3, 2^4, ..
2
4
8
6
Следующее окончание опять 2. Найдем число таких четверок
2011/4=502 (ост3)
З-е число четверки =8

Получилось
2^2011=235137166392167326562884239601189270327770665387764777057821232501916930333157440277843862797620484079297733558064632376001969963184753731876030741742930572368138217769599549441410619695595611896686442475650019829312748469547803369364105269330875092932413432951116592760718601432316542258250064326595241331392857925600171019473673184886607992629114422272878597563815169700909072654819904085527076625033639114742571864324140605150011478343379319299155741560631484253296553540791648336199847848379659433483019111595470879802058314586996847634258484805391616359291962984085181994635193249304954575153212162048
или по-другому
2^2011=2.35137166392167*10^605

Последняя цифра числа. Интересно и увлекательно

Необходимо усвоить довольно очевидное правило.
Последняя цифра произведения двух (или более) сомножителей равна последней цифре произведения последних цифр этих сомножителей.
Например, последняя цифра произведения 217*5189 равна 3. Почему?
Потому что последней цифрой произведения «кончиков», т.е. 7*9 = 63 является 3.
Последняя цифра значения степени натурального основания с натуральным показателем равна последней цифре числа, полученного возведением в эту степень последней цифры («кончика») основания.
Например, последняя цифра числа 8159^3 ‘равна 9. Потому что (третья) степень «кончика» основания 9^3 = 729 заканчивается девяткой.
Пример: Найдем последнюю цифру числа 3^183.
Представляем в виде:
3^183 = (3^182)*3 = (9^91)*3.
Легко усмотреть закономерность, что последняя цифра значения степени 9^k равна 9, если k нечетный, и равна 1, если k четный.
Поэтому последняя цифра степени 9^91 равна 9, а искомая последняя цифра произведения равна 7 (т.к. 9*3 = 27) Ответ 7
Пример: Найдем последнюю цифру числа 67^65
Решение: Достаточно найти последнюю цифру числа 7^65.
7^65 = (7^64)*7 = (49^32)*7.
Последняя цифра первого сомножителя совпадает с последней цифрой числа 9^32, и равна 1 (последняя цифра числа девять в четной степени), поэтому 1*7 = 7. Ответ 7.
Попробуйте теперь решить следующие задачки:

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ:
1, Какой цифрой заканчивается число
а) 2^2022 (два в степени 2022)?
б) 2023^2023?
в) 2023!! = 1*3*5*7*. *2021*2023,
т.е. произведение всех нечетных чисел от 1 до 2023?
2. 2022 литра воды разлили в сосуды, обьемы которых 10 литров и 17 литров. Сколько сосудов того и иного обьема было наполнено?
3. Найти последнюю цифру числа
k^2 + 2^k,
где k = 2022^2 + 2^2022.