Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Рассмотрим три частных случая решения дифференциальных уравнений с возможностью понижения порядка. Во всех случаях понижение порядка производится с помощью замены переменной. То есть, решение дифференциального уравнения сводится к решению уравнения более низкого порядка. В основном мы рассмотрим способы понижения порядка дифференциальных уравнений второго порядка, однако их можно применять многократно и понижать порядок уравнений изначально более высокого порядка. Так, в примере 2 решается задача понижения порядка дифференциального уравнения третьего порядка.
Понижение порядка уравнения, не содержащего y и y‘
Это дифференциальное уравнение вида . Произведём замену переменной: введём новую функцию и тогда . Следовательно, и исходное уравнение превращается в уравнениие первого порядка
с искомой функцией .
Решая его, находим . Так как , то .
Отсюда, интегрируя ещё раз, получаем решение исходного уравнения:
где и — произвольные константы интегрирования.
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Произведём замену переменной, как было описано выше: введём функцию и, таким образом, понизив порядок уравнения, получим уравнение первого порядка . Интегрируя его, находим . Заменяя на и интегрируя ещё раз, находим общее решение исходного дифференциального уравнения:
Пример 2. Решить дифференциальное уравнение третьего порядка
Решение. Дифференциальное уравнение не содержит y и y‘ в явном виде. Для понижения порядка применяем подстановку:
Тогда и получаем линейное дифференциальное уравнение первого порядка:
Заменяя z произведением функций u и v , получим
Тогда получим выражения с функцией v :
Выражения с функцией u :
Дважды интегрируем и получаем:
Интегрируем по частям и получаем:
Итак, общее решение данного дифференциального уравения:
Понижение порядка уравнения, не содержащего y
Это дифференциальное уравнение вида . Произведём замену переменной как в предыдущем случае: введём , тогда , и уравнение преобразуется в уравнение первого порядка . Решая его, найдём . Так как , то . Отсюда, интегрируя ещё раз, получаем решение исходного уравнения:
где и — произвольные константы интегрирования.
Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Уже знакомым способом произведём замену переменной: введём функцию и понизим порядок уравнения. Получаем уравнение первого порядка . Решая его, находим . Тогда и получаем решение исходного дифференциального уравнения второго порядка:
Пример 4. Решить дифференциальное уравнение
Решение. Дифференциальное уравнение не содержит y в явном виде. Поэтому для понижения порядка применяем подстановку:
Получим дифференциальное уравнение первого порядка:
Это уравение с разделяющимися переменными. Решим его:
Интегрируем полученную функцию:
Мы пришли к цели — общему решению данного дифференциального уравения:
Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Дифференциальное уравнение не содержит y в явном виде. Поэтому для понижения порядка применяем подстановку:
Получим дифференциальное уравнение первого порядка:
Это однородное уравение, которое решается при помощи подстановки . Тогда , :
Далее потребуется интегрировать по частям. Введём обозначения:
Таким образом, получили общее решение данного дифференциального уравения:
Понижение порядка уравнения, не содержащего x
Это уравнение вида . Вводим новую функцию , полагая . Тогда
Подставляя в уравнение выражения для и , понижаем порядок уравнения. Получаем уравнение первого порядка относительно z как функции от y:
Решая его, найдём . Так как , то . Получено дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, из которого находим общее решение исходного уравнения:
где и — произвольные константы интегрирования.
Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Полагая и учитывая, что , получаем . Понизив порядок исходного уравнения, получаем уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Приводя его к виду и интегрируя, получаем , откуда . Учитывая, что , находим , откуда получаем решение исходного дифференциального уравнения второго порядка:
При сокращении на z было потеряно решение уравнения , т.е. . В данном случае оно содержится в общем решении, так как получается из него при (за исключением решения y = 0).
Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Дифференциальное уравнение не содержит x в явном виде. Для понижения порядка применяем подстановку:
Получим дифференциальное уравнение первого порядка:
Это уравение с разделяющимися переменными. Решим его:
Используя вновь подстановку
получим ещё одно уравнение с разделяющимися переменными. Решим и его:
Таким образом, общее решение данного дифференциального уравения:
Пример 8. Найти частное решение дифференциального уравнения
удовлетворяющее начальному условию y(0) = 1 , y‘(0) = −1 .
Решение. Дифференциальное уравнение не содержит x в явном виде. Поэтому применяем подстановку:
Таким образом, понизили порядок уравнения и получили уравнение первого порядка
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем:
Чтобы определить C 1 , используем данные условия y(0) = 1 , y‘(0) = −1 или p(0) = −1 . В полученное выражение подставим y = 1 , p = −1 :
Разделяя переменные и интегрируя, получаем
Из начального условия y(0) = 1 следует
Получаем окончательное решение данного дифференциального уравнения
Пример 9. Найти частное решение дифференциального уравнения
удовлетворяющее начальному условию y(1) = 1 , y‘(1) = −1 .
Решение. Дифференциальное уравнение не содержит x в явном виде. Для понижения порядка применяем подстановку:
Таким образом, получили уравнение первого порядка
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделив обе части уравнения на p , получим
Интегрируем обе части уравнения
Используем начальные условия и определим C 1 . Если x = 1 , то y = 1 и p = y‘ = −1 , поэтому
Из начального условия y(1) = 1 следует
Получаем окончательное решение данного дифференциального уравнения
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Кроме распространенных однородных и неоднородных уравнений второго порядка и высших порядков с постоянными коэффициентами, рядовому студенту часто приходится сталкиваться с другим достаточно обширным классом диффуров: дифференциальными уравнениями, допускающими понижение порядка.
Различают три основных типа таких уравнений, которые мы последовательно рассмотрим на данном уроке. По какому принципу решаются данные уравнения? Старо, как второй том матана – уравнения, допускающие понижение порядка, в конечном итоге сводятся к дифференциальным уравнениям первого порядка и интегрируются с помощью методов, которые вы уже должны знать из моих статей.
Люди собрались опытные, большие, поэтому не будем проводить разминку с перекидыванием резинового мячика из рук в руки, а сразу перейдем к делу. Но и чайники тоже могут присоединиться, я не выгоняю за дверь, а ставлю ссылки на темы, по которым у вас есть пробелы.
Метод повторного интегрирования правой части
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида , где – производная «энного» порядка, а правая часть зависит только от «икс». В простейшем случае может быть константой.
Данное дифференциальное уравнение решается последовательным интегрированием правой части. Причём интегрировать придется ровно раз.
На практике наиболее популярной разновидность является уравнение второго порядка: . Дважды интегрируем правую часть и получаем общее решение. Уравнение третьего порядка необходимо проинтегрировать трижды, и т. д. Но диффуров четвертого и более высоких порядков в практических заданиях что-то даже и не припомню.
Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение: данное дифференциальное уравнение имеет вид .
Понижаем степень уравнения до первого порядка:
Или короче: , где – константа
Теперь интегрируем правую часть еще раз, получая общее решение:
Ответ: общее решение:
Проверить общее решение такого уравнения обычно очень легко. В данном случае нужно лишь найти вторую производную:
Получено исходное дифференциальное уравнение , значит, общее решение найдено правильно.
Решить дифференциальное уравнение
Это пример для самостоятельного решения. Как я уже где-то упоминал, иногда диффур может быть подшифрован. В предложенном примере сначала необходимо привести уравнение к стандартному виду . Решение и ответ в конце урока.
Нахождение частного решения (задача Коши) имеет свои особенности, которые мы рассмотрим в следующих двух примерах:
Найти частное решение уравнения, соответствующее заданным начальным условиям
Решение: данное уравнение имеет вид . Согласно алгоритму, необходимо последовательно три раза проинтегрировать правую часть.
Сначала понижаем степень уравнения до второго порядка:
Первый интеграл принёс нам константу . В уравнениях рассматриваемого типа рационально сразу же применять подходящие начальные условия.
Итак, у нас найдено , и, очевидно, к полученному уравнению подходит начальное условие .
В соответствии с начальным условием :
На следующем шаге берём второй интеграл, понижая степень уравнения до первого порядка:
Выползла константа , с которой мы немедленно расправляемся. Хах. Комментирую пример, а в голове возникла ассоциация, что я злой дед Мазай с одноствольным ружьём. Ну и действительно, константы отстреливаются, как только покажут уши из-под интеграла.
В соответствии с начальным условием :
И, наконец, третий интеграл:
Для третьей константы используем последний патрон :
Зайцы плачут, заряды были с солью.
Ответ: частное решение:
Выполним проверку, благо, она ненапряжная:
Проверяем начальное условие :
– выполнено.
Проверяем начальное условие :
– выполнено.
Находим вторую производную:
Проверяем начальное условие :
– выполнено.
Найдем третью производную:
Получено исходное дифференциальное уравнение
Вывод: задание выполнено верно
Наверное, все обратили внимание на следующую вещь: каков порядок уравнения – столько и констант. Уравнение второго порядка располагает двумя константами , в уравнении третьего порядка – ровно три константы , в уравнении четвертого порядка обязательно будет ровно четыре константы и т. д. Причем, эта особенность справедлива вообще для любого диффура высшего порядка.
Найти частное решение уравнения, соответствующее заданным начальным условиям
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Время от времени в дифференциальных уравнениях рассматриваемого типа приходится находить более трудные интегралы: использовать метод замены переменной, интегрировать по частям, прибегать к другим ухищрениям. Я намеренно подобрал простые примеры без всяких замысловатостей, чтобы больше внимания уделить именно алгоритму решения.
В дифференциальном уравнении в явном виде отсутствует функция
Простейшее уравнение данного типа в общем виде выглядит так:
– всё есть, а «игрека» нет. Точнее, его нет в явном виде, но он обязательно всплывёт в ходе решения.
Кроме того, вместе с «игреком» в явном виде может отсутствовать первая производная:
– это уже уравнение третьего порядка.
Может дополнительно отсутствовать и вторая производная:
– уравнение четвертого порядка.
И так далее. Думаю, все увидели закономерность, и теперь смогут без труда определить такое уравнение в практических примерах. Кроме того, во всех этих уравнениях обязательно присутствует независимая переменная «икс».
На самом деле есть общая формула, строгая формулировка, но я стараюсь избегать лишних параметров и прочих математических наворотов, поскольку уроки носят не теоретический, а практический характер. И даже общие формулы, которые я только что привел, являются не совсем полными с теоретической точки зрения.
Как решать такие уравнения? Они решаются с помощью очень простой замены.
Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение: в данном уравнении второго порядка в явном виде не участвует переменная . Заменим первую производную новой функцией , которая зависит от «икс»:
Цель проведённой замены очевидна – понизить степень уравнения:
Получено линейное неоднородное уравнение первого порядка, с той лишь разницей, что вместо привычной функции «игрек» у нас функция «зет». Грубо говоря, отличие только в букве.
Линейное неоднородное уравнение первого порядка можно решить двумя способами: методом Бернулли (замены переменной) или методом вариации произвольной постоянной. Я выберу метод вариации произвольной постоянной, поскольку он маловато встречался в моих статьях.
Решим вспомогательное уравнение:
Разделяем переменные и интегрируем:
Общее решение вспомогательного уравнения:
Варьируя постоянную , в неоднородном уравнении проведем замену:
Пара слагаемых в левой части взаимоуничтожается, значит, мы на верном пути:
Разделяем переменные и интегрируем:
Итак, функция найдена. Тут на радостях можно забыть про одну вещь и машинально записать ответ. Нет-нет, ещё не всё. Вспоминаем, что в начале задания была выполнена замена , следовательно, нужно провести обратную замену :
Общее решение восстанавливаем интегрированием:
На заключительном этапе нарисовался партизан «игрек», который, как мы помним, в дифференциальное уравнение в явном виде не входил.
Ответ: общее решение:
В большинстве случае проверить и такие уравнения не составляет особого труда. Берём полученный ответ, находим первую и вторую производные:
Подставим первую и вторую производную в исходное уравнение :
Получено верное равенство, значит, общее решение найдено правильно.
Решить дифференциальное уравнение
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Теперь вспомним начало заданий. С помощью замены мы понижали степень уравнения и получали линейное неоднородное уравнение первого порядка. Всегда ли получается именно линейное уравнение в результате замены? Так происходит часто, но не всегда. После замены может получиться уравнение с разделяющимися переменными, однородное уравнение первого порядка, а также некоторые другие интересности.
Решить дифференциальное уравнение
Решение: в данном уравнении третьего порядка в явном виде не участвуют функция и первая производная . Замена будет очень похожей, за «зет» обозначаем младшего брата:
Таким образом, уравнение понижено до первого порядка:
Получено уравнение с разделяющимися переменными, разделяем переменные и интегрируем:
Проведем обратную замену:
Данное уравнение имеет уже знакомый с первого параграфа вид: .
Дважды интегрируем правую часть:
Ответ: общее решение:
Найти общее решение дифференциального уравнения
Это пример для самостоятельного решения. После понижения степени получится линейное неоднородное уравнение первого порядка, которое в моём образце решено методом Бернулли. Как говорится, весь арсенал в ходу.
В дифференциальном уравнении
в явном виде отсутствует независимая переменная
Третий, чуть более сложный тип уравнения, допускающий понижение порядка. Я не буду рисовать общих формул – отличительная особенность данного диффура состоит в том, что в нём в явном виде отсутствует независимая переменная «икс». То есть в исходном дифференциальном уравнении нет «икса». Вообще нет. Ни одного. Нигде.
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям
, ,
Решение: в данном уравнении в явном виде не участвует переменная . Подстановка здесь более замысловата. Первую производную заменим некоторой пока еще неизвестной функцией , которая зависит от функции «игрек»: . Обратите внимание, что функция – это сложная функция. Внешняя функция – «зет», внутренняя функция – «игрек» («игрек» сам по себе является функцией).
Учитывая, что , окончательно получаем:
В принципе, можно запомнить данную замену формально и коротко:
Другой вопрос, что студентам часто не понятно, почему в замене такая странная вторая производная: , «совершенно же очевидно, что должно быть ». А вот, оно, и не очевидно. Почему , я только что подробно прокомментировал.
Итак, в исходном уравнении проведём нашу замену:
Цель замены – опять же понизить порядок уравнения:
Одно «зет» сразу сокращаем:
Получено уравнение с разделяющимися переменными. Если – функция, зависящая от «игрек», то первая производная в дифференциалах расписывается так:
. Не допускаем машинальной ошибки – не пишем «привычное» .
Разделяем переменные и интегрируем:
Проведем обратную замену :
Как и в первом параграфе, константу целесообразно отстрелить незамедлительно, это значительно упростит дальнейшее интегрирование.
Используем оба начальных условия одновременно: ,
В полученное уравнение подставим и :
Вторую константу тоже отстреливаем. Используя начальное условие , проводим подстановку :
Выразим частное решение в явном виде:
Ответ: частное решение:
Кстати, ответ легко проверяется.
Для закрепления материала пара заключительных примеров.
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям
, ,
Решение: в данном уравнении в явном виде не участвует переменная . Еще здесь нет первой производной, но это не должно смущать – важно, что нет «иксов», а значит, используется стандартная замена:
Таким образом, степень уравнения понижена до первого порядка:
Разделяем переменные и интегрируем, не забывая, что :
Переобозначим константу через :
.
Проведём обратную замену :
Используем одновременно оба начальных условия , и найдём значение константы . Для этого в полученное уравнение подставим и:
Разделяем переменные и интегрируем:
В соответствии с начальным условием :
Ответ: частное решение:
Найти решение задачи Коши.
, ,
Это пример для самостоятельного решения.
Обратите внимание, что все три примера последнего параграфа идут с задачей Коши. Это не случайно. Специфика рассмотренного типа дифференциальных уравнений такова, что если предложить найти общее решение, то в большинстве уравнений нарисуются сложные, вычурные, а то и вообще неберущиеся интегралы. Поэтому практически всегда вам будет предложено найти частное решение.
Существуют еще некоторые типы диффуров, допускающие понижение порядка, но на практике они мне ни разу не встречались, хотя я перерешал очень много дифференциальных уравнений. Поэтому в урок были включены только те примеры, которые вам могут встретиться реально.
А сейчас пора повесить ружье на гвоздь и идти пить чай.
Удачного понижения степеней дифференциальных уравнений!
Решения и ответы:
Пример 2. Решение: преобразуем уравнение:
Данное ДУ имеет вид . Дважды интегрируем правую часть:
Ответ: общее решение:
Пример 4. Решение: преобразуем уравнение: .
Данное уравнение имеет вид . Трижды интегрируем правую часть:
В соответствии с начальным условием:
В соответствии с начальным условием:
В соответствии с начальным условием:
Ответ: частное решение:
Пример 6. Решение: в данное уравнение в явном виде не входит функция , проведем замену:
Получено линейное неоднородное уравнение первого порядка. Используем метод вариации произвольной постоянной. Решим вспомогательное уравнение:
Разделяем переменные и интегрируем:
В неоднородном уравнении проведем замену:
Таким образом:
Обратная замена:
Ответ: Общее решение:
Пример 8. Решение: Проведем замену:
Получено линейное неоднородное уравнение, замена:
Составим и решим систему:
Из первого уравнения найдем :
– подставим во второе уравнение:
Таким образом:
Обратная замена:
Дважды интегрируем правую часть:
Здесь я немножко схалтурил, интеграл от логарифма берётся по частям, и, строго говоря, последний интеграл нужно расписать подробнее.
Ответ: общее решение:
Пример 11. Решение: в данном уравнении в явном виде не участвует переменная , проведем замену:
Обратная замена:
В соответствии с начальными условиями , :
В соответствии с начальным условием :
Ответ: частное решение:
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Материал данной статьи дает представление о дифференциальных уравнениях порядка выше второго с возможностью понизить порядок, используя замену. Подобные уравнения часто представлены F ( x , y ( k ) , y ( k + 1 ) , . . . , y ( n ) ) = 0 , не содержащими искомой функции и производных до k – 1 порядка, а также дифференциальными уравнениями записи F ( y , y ‘ , y » , . . . , y ( n ) ) = 0 , не содержащими независимой переменной.
Понижение порядка дифференциальных уравнений, не содержащих искомой функции и производных до
k – 1 порядка вида F ( x , y ( k ) , y ( k + 1 ) , . . . , y ( n ) ) = 0
Мы имеем возможность понижения порядка дифференциального уравнения F ( x , y ( k ) , y ( k + 1 ) , . . . , y ( n ) ) = 0 до n – k , используя замену переменных y ( k ) = p ( x ) . Осуществив подобную замену, имеем: y ( k + 1 ) = p ‘ ( x ) , y ( k + 2 ) = p » ( x ) , . . . , y ( n ) = p ( n — k ) ( x ) . Затем подставим полученный результат в исходное уравнение и увидим дифференциальное уравнение порядка n – k с неизвестной функцией p ( x ) .
После нахождения p ( x ) функцию y ( x ) найдем из равенства y ( k ) = p ( x ) интегрированием k раз подряд.
Для наглядности разберём решение такой задачи.
Задано дифференциальное уравнение 4 y ( 4 ) — 8 y ( 3 ) + 3 y » = 0 . Необходимо найти его общее решение.
Решение
Произведя замену y » = p ( x ) , получим возможность понизить порядок дифференциального уравнения с четвертого до второго. Итак, y ( 3 ) = p ‘ , y ( 4 ) = p » , и, таким образом, исходное уравнение четвертого порядка мы преобразуем в линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка, имеющее постоянные коэффициенты 4 p » — 8 p ‘ + 3 p = 0 .
Характеристическое уравнение будет записано так: 4 k 2 — 8 k + 3 = 0 , а корни его — k 1 = 1 2 и k 2 = 3 2 , тогда общим решением дифференциального уравнения 4 p » — 8 p ‘ + 3 p = 0 будет p ( x ) = C 1 · e 1 2 x + C 2 · e 3 2 x .
Проинтегрируем два раза полученный результат и можем записать необходимое нам общее решение дифференциального уравнения четвертого порядка:
y » = p ( x ) ⇒ y ‘ = ∫ p ( x ) d x = ∫ C 1 · e 1 2 x + C 2 · e 3 2 x d x = = 2 C 1 · e 1 2 x + 2 3 C 2 · e 3 2 x + C 3 ⇒ y = ∫ y ‘ d x = ∫ 2 C 1 · e 1 2 x + 2 3 C 2 · e 3 2 x + C 3 d x = = 4 C 1 · e 1 2 x + 4 9 C 2 · e 3 2 x + C 3 · x + C 4
Ответ: y = 4 C 1 · e 1 2 x + 4 9 C 2 · e 3 2 x + C 3 · x + C 4 ( С 1 , С 2 , С 3 и С 4 являются произвольными постоянными).
Задано общее дифференциальное уравнение третьего порядка y ‘ ‘ ‘ · x · ln ( x ) = y » . Необходимо найти его общее решение.
Решение
Осуществим замену y » = p ( x ) , следовательно, y ‘ ‘ ‘ = p ‘ , а заданное дифференциальное уравнение третьего порядка преобразуется в дифференциальное уравнение, имеющее разделяющиеся переменные записи p ‘ · x · ln ( x ) = p .
Осуществим разделение переменных и интегрирование:
d p p = d x x ln ( x ) , p ≠ 0 ∫ d p p = ∫ d x x ln ( x ) ∫ d p p = ∫ d ( ln ( x ) ) ln ( x ) ln p + C 1 = ln ln ( x ) + C 2
Последующее потенцирование с учетом того, что p ( x ) = 0 тоже является решением, даст нам возможность получить общее решение дифференциального уравнения p ‘ · x · ln ( x ) = p в записи p ( x ) = C · ln ( x ) , в которой C будет произвольной постоянной.
Поскольку в самом начале была использована замена y » = p ( x ) , то y ‘ = ∫ p ( x ) d x тогда: y ‘ = C · ∫ ln ( x ) d x . Задействуем метод интегрирования по частям:
y ‘ = C · ∫ ln ( x ) d x = u = ln ( x ) , d v = d x d u = d x x , v = x = = C · x · ln ( x ) — ∫ x d x x = C · ( x · ln ( x ) — x ) + C 3
Произведем интегрирование повторно для получения общего решения заданного дифференциального уравнения третьего порядка:
y = ∫ y ‘ d x = ∫ C · x · ln ( x ) — x + C 3 d x = = C · ∫ x · ln ( x ) d x — C · ∫ x d x + C 3 · ∫ d x = = C · ∫ x · ln ( x ) d x — C · x 2 2 + C 3 · x = = u = ln x , d v = x d x d u = d x x , v = x 2 2 = = C · x 2 2 · ln x — ∫ x d x 2 — C · x 2 2 + C 3 · x + C 4 = = C · x 2 ln ( x ) 2 — 3 x 2 4 + C 3 · x + C 4
Ответ: y = C · x 2 ln ( x ) 2 — 3 x 2 4 + C 3 · x + C 4 ( С , С 3 и С 4 являются произвольными постоянными).
Понижение порядка дифференциальных уравнений, не содержащих независимую переменную, записи F ( x , y ( k ) , y ( k + 1 ) , . . . , y ( n ) ) = 0
Теперь рассмотрим дифференциальные уравнения F ( y , y ‘ , y » , . . . , y ( n ) ) = 0 , не имеющие в своей записи независимую переменную.
В данном случае снижение порядка на единицу возможно с использованием замены d y d x = p ( y ) . Опираясь на правило дифференцирования сложных функций, получим:
d 2 y d x 2 = d p d y d y d x = d p d y p ( y ) d 3 y d x 3 = d d p d y p ( y ) d x = d 2 p d y 2 d y d x p ( y ) + d p d y d p d y d y d x = = d 2 p d y 2 p 2 ( y ) + d p d y 2 p ( y ) . . .
Подставив результат в заданное уравнение, получаем дифференциальное уравнение с порядком ниже на единицу.
Рассмотрим данный алгоритм в решении конкретной задачи.
Задано дифференциальное уравнение 4 y 3 y » = y 4 — 1 и начальные условия: y ( 0 ) = 2 , y ‘ ( 0 ) = 1 2 2 . Необходимо найти частное решение заданного уравнения.
Решение
Заданное уравнение не имеет в своем составе независимую переменную x , следовательно, мы можем снизить порядок уравнения на единицу, используя замену d y d x = p ( y ) .
Тогда d 2 y d x 2 = d p d y · p ( y ) . Произведем подстановку и получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными 4 y 3 · d p d y · p ( y ) = y 4 — 1 .
4 y 3 · d p d y · p ( y ) = y 4 — 1 ⇔ p ( y ) d p = y 4 — 1 4 y 3 d y , y ≠ 0 ∫ p ( y ) d p = ∫ y 4 — 1 4 y 3 d y p 2 ( y ) 2 + C 1 = y 2 8 + 1 8 y 2 + C 2 p 2 ( y ) = 1 4 y 4 + 8 C y 2 + 1 y 2 , C = C 2 — C 1 P ( y ) = ± 1 2 y 4 + 8 C y 2 + 1 y 2
Поскольку d y d x = p ( y ) , тогда y ‘ = ± 1 2 y 4 + 8 C y 2 + 1 y 2 .
Этап решения позволяет найти константу C , задействовав начальные условия y ( 0 ) = 2 , y ‘ ( 0 ) = 1 2 2 :
y ‘ ( 0 ) = ± 1 2 y 4 ( 0 ) + 8 C y 2 ( 0 ) + 1 y 2 ( 0 ) 1 2 2 = ± 1 2 2 4 + 8 C 2 2 + 1 2 1 2 2 = ± 1 2 5 + 16 C 2 1 = ± 5 + 16 C
Крайнее равенство дает возможность сформулировать вывод:
C = — 1 4 ,а y ‘ = — 1 2 y 4 + 8 C y 2 + 1 y 2 не удовлетворяет условиям задачи.
y ‘ = 1 2 y 4 + 8 C y 2 + 1 y 2 = 1 2 y 4 + 8 · — 1 4 y 2 + 1 y 2 = = 1 2 y 4 + 2 y 2 + 1 y 2 = 1 2 ( y 2 — 1 2 ) y 2 = 1 2 y 2 — 1 y
При y 2 — 1 y ≥ 0 ⇔ y ∈ — 1 ; 0 ∪ [ 1 ; + ∞ ) получаем y ‘ = 1 2 · y 2 — 1 y , откуда
2 y d y y 2 — 1 = d x ∫ 2 y d y y 2 — 1 = ∫ d x ∫ d ( y 2 — 1 ) y 2 — 1 = ∫ d x ln ( y 2 — 1 ) + C 3 = x + C 4 y 2 — 1 = e x + C 3 = x + C 4 y 2 — 1 = x + C 1 , C 5 + C 4 — C 2 y = ± e x + C 5 + 1
Область значений функции y = — e x + C 5 + 1 — это ( — ∞ , — 1 ] , и такой интервал не будет удовлетворять условию y 2 — 1 y ≥ 0 ⇔ y ∈ — 1 ; 0 ∪ [ 1 ; + ∞ ) , а значит y = — e x + C 5 + 1 не рассматриваем.
Обратимся к начальному условию y ( 0 ) = 2 :
y ( 0 ) = e 0 + C 5 + 1 2 = e 0 + C 5 + 1 2 = e C 5 + 1 С 5 = 0
Таким образом, y = e x + C 5 + 1 = e x + 0 + 1 = e x + 1 — необходимое нам частное решение.
Для функции y = e — x + C 5 + 1 начальное условие y ( 0 ) = 2 не будет удовлетворяться ни для каких С 6 , поскольку
y ( 0 ) = — e 0 + C 6 + 1 2 = — e C 6 + 1
Ответ: y = e x + 1 .
Уравнения, допускающие понижение порядка
Мы умеем решать уравнения первого порядка. Поэтому возникает естественное желание свести уравнение порядка выше первого к уравнению более низкого порядка. В некоторых случаях это удаётся сделать. Рассмотрим их.
1. Уравнения вида y ( n) =f(x) решаются последовательным интегрированием n раз
, ,… .
Пример №1 . Решить уравнение xy»=1 . Можем записать , следовательно, y’=ln|x| + C1и, интегрируя ещё раз, окончательно получаем y=∫ln|x| + C1x + C2
2. В уравнениях вида F(x,y ( k ) ,y ( k +1) . y ( n ) )=0 (то есть не содержащих в явном виде неизвестной функции и некоторых её производных) порядок понижается с помощью замены переменной y ( k ) = z(x). Тогда y ( k +1) =z'(x),…,y ( n ) = z ( n — k ) (x) и мы получаем уравнение F(x,z,z’. z ( n — k ) ) порядка n-k. Его решением является функция z = φ(x,C1,C2,…,Cn) или, вспоминая, что такое z, получаем уравнение y ( n- k) = φ(x,C1,C2,…,Cn—k) рассмотренного в случае 1 типа.
Пример №2 . Решить уравнение x 2 y» = (y’) 2 . Делаем замену y’=z(x) . Тогда y»=z'(x) . Подставляя в исходное уравнение, получаем x 2 z’=z 2 . Разделяя переменные, получаем . Интегрируя, имеем , или, что тоже самое, . Последнее соотношение записывается в виде , откуда . Интегрируя, окончательно получаем
Пример №3 . Решить уравнение x 3 y» +x 2 y’=1 .Делаем замену переменных: y’=z; y»=z’
x 3 z’+x 2 z=1. Делаем замену переменных: z=u/x; z’=(u’x-u)/x 2
x 3 (u’x-u)/x 2 +x 2 u/x=1 или u’x 2 -xu+xu=1 или u’x^2=1. Откуда: u’=1/x 2 или du/dx=1/x 2 или u = int(dx/x 2 ) = -1/x+c1
Поскольку z=u/x, то z = -1/x 2 +c1/x. Поскольку y’=z, то dy/dx=-1/x 2 +c1/x
y = int(c1dx/x-dx/x 2 ) =c1ln(x) + 1/x + c2. Ответ: y = c1ln(x) + 1/x + c2
3. Следующим уравнением, допускающим понижение порядка, является уравнение вида F(y,y’,y»,…,y ( n ) )=0 , не содержащее в явном виде независимой переменной. Порядок уравнения понижается с помощью замены переменной y’=p(y) , где p — новая искомая функция, зависящая от y. Тогда 
= 
и так далее. По индукции имеем y ( n ) =φ(p,p’. p ( n-1) ). Подставляя в исходное уравнение, понижаем его порядок на единицу.
Пример №4 . Решить уравнение (y’) 2 +2yy»=0 . Делаем стандартную замену y’=p(y) , тогда y″=p′·p . Подставляя в уравнение, получаем Разделяя переменные, при p≠0, имеем Интегрируя, получаем или, что то же самое, . Тогда или . Интегрируя последнее равенство, окончательно получаем При разделении переменных мы могли потерять решение y=C, которое получается при p=0, или, что то же самое, при y’=0, но оно содержится в полученном выше.
4. Иногда удаётся подметить особенность, позволяющую понизить порядок уравнения отличными от рассмотренных выше способами. Покажем это на примерах.
Замечания .
1. Если обе части уравнения yy»’=y′y″ разделить на yy″, то получим уравнение 
, которое можно переписать в виде (lny″)′=(lny)′. Из последнего соотношения следует, что lny″=lny+lnC , или, что то же самое, y″=Cy . Получилось уравнение на порядок ниже и рассмотренного ранее типа.
2. Аналогично для уравнения yy″=y′(y′+1) имеем 
, или (ln(y’+1))’ = (lny)’ . Из последнего соотношения следует, что ln(y’+1) = lny + lnC1, или y’=C1y-1. Разделяя переменные и интегрируя, получаем, ln(C1y-1) = C1x+C2
Решить уравнения, допускающие понижение порядка можно с помощью специального сервиса Дифференциальные уравнения онлайн.