Как преобразовать алгебраическую форму записи величины в показательную
В общем случае алгебраическая форма записи комплексной величины выглядит следующим образом:
Но это математическая запись. В электротехнике принято мнимую единицу обозначать не «i», а буквой «j» (это сделано для того, чтобы не было путаницы с токами, которые чаще всего и обозначаются латинской буквой «i»). Тогда в электротехнике вы скорее всего увидите запись:
При этом мнимая единица может стоять как первым множителем, так и вторым. То есть это же число можно записать:
Часть комплексного числа без мнимой единицы называется «Действительной» и чаще всего обозначается Re (от английского Real — действительный, настоящий)
Часть комплексного числа с мнимой единицой называется также «Мнимой» и обозначается Im (от английского Imaginary — воображаемый)
Что касается показательной формы записи, то в она обычно выглядит так:
Здесь буква «А» — модуль величины, буква «е» ничего не значит и просто указывает, что это показательная форма записи (так как остальные данные записаны в показатель степени). Буква «j» в степени тоже просто обозначает комплексное число, а вот «φ» — это угол в градусах или радианах.
Чтобы легко понять как эти формы записи связаны друг с другом, достаточно рассмотреть изображение вектора на комплексной плоскости:
Очевидно, что такой вектор можно задать, указав его длину и угол поворота — это и есть показательная форма записи комплексных числел. То, что в нашем примере обозначено буквой «А» — длина вектора, а число в показателе степени — угол поворота
Еще один способ точного описания вектора — указать его проекции на координатные оси. Например «отложим пять единиц по горизонтальной оси и три по вертикальной». Именно так и работает алгебраическая форма записи:
Тогда становится понятно — чтобы перевести из алгебраической формы записи в показательную, нужно определить длину вектора и угол его поворота. Длина вектора определятся, исходя из того, то сам вектор это гипотенуза прямоугольного треугольника, а его проекции — катеты. Тогда по закону Пифагора:
Поскольку тангенс угла есть отношение противолежащего катета к прилежащему:
Можно легко определить нужный угол:
Разберем на практическом примере. Пусть в алгебраической форме задано значение тока:
Необходимо записать это число в показательной форме. Здесь действительная чатсть Re(I)=7, мнимая часть Im(I)=16. Сначала определим длину вектора (говоря по-другому — модуль тока):
Теперь рассчитаем угол поворота вектора:
Все весьма несложно. Однако, существует один хитрый момент, который нужно иметь ввиду. Предположим, нам задан задан ток в алгебраической форме I=-3-j3. Построим его на комплексной плоскости для наглядности:
С определением длины вектора трудностей не возникнет. Однако, как только мы попытаемся определить угол, то увидим:
Очевидно, угол здесь не может быть 45 градусов. Он должен быть или минус 135 или плюс 225 градусов. Так происходит из-за того, что в формуле арктангенса оказались два отрицательных числа. Грубо говоря, знак «минус» сокращается и арктангенс показывает тот же угол, что и при положительных значениях. Чтобы избежать такой ошибки, досточно ввести правило на случай отрицательной действительной части:
Итак, простой алгоритм перевода алгебраической формы записи комплексного числа в показательную:
Как преобразовать показательную форму записи величины в алгебраическую
В общем случае алгебраическая форма записи комплексной величины выглядит следующим образом:
Но это математическая запись. В электротехнике принято мнимую единицу обозначать не «i», а буквой «j» (это сделано для того, чтобы не было путаницы с токами, которые чаще всего и обозначаются латинской буквой «i»). Тогда в электротехнике вы скорее всего увидите запись:
При этом мнимая единица может стоять как первым множителем, так и вторым. То есть это же число можно записать:
Часть комплексного числа без мнимой единицы называется «Действительной» и чаще всего обозначается Re (от английского Real — действительный, настоящий)
Часть комплексного числа с мнимой единицой называется также «Мнимой» и обозначается Im (от английского Imaginary — воображаемый)
Что касается показательной формы записи, то в она обычно выглядит так:
Здесь буква «А» — модуль величины, буква «е» ничего не значит и просто указывает, что это показательная форма записи (так как остальные данные записаны в показатель степени). Буква «j» в степени тоже просто обозначает комплексное число, а вот «φ» — это угол в градусах или радианах.
Чтобы легко понять как эти формы записи связаны друг с другом, достаточно рассмотреть изображение вектора на комплексной плоскости:
Очевидно, что такой вектор можно задать, указав его длину и угол поворота — это и есть показательная форма записи комплексных числел. То, что в нашем примере обозначено буквой «А» — длина вектора, а число в показателе степени — угол поворота
Еще один споосб точного описания вектора — указать его проекции на координатные оси. Например «отложим пять единиц по горизонтальной оси и три по вертикальной». Именно так и работает алгебраическая форма записи:
Очевидно — чтобы перевести из показательной формы записи в алгебраическую, нужно определить проекции вектора на оси координат. Известно, что косинус угла есть отношение прилежащего катета к гипотенузе:
Отсюда действительная часть комплексного числа:
Синус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе:
Значит, мнимая часть комплексного числа:
Разберем пример. Пусть задано напряжение в показательной форме:
Определим действительную часть алгебраической формы записи:
Теперь мнимую часть:
В принципе, все. Можно записать результат (не забывайте к мнимой части дописывать указатель мнимой единицы — j или i):
В качестве итога, запишем алгоритм перевода показательной формы записи комплексного числа в алгебраическую:
Калькулятор преобразования формы комплексного числа
Данный калькулятор позволяет осуществлять перевод комлпексных чисел из одной формы в другую c пошаговым описанием хода решения. Например, можно перевести комплексное число из алгебраической формы записи в тригонометрическую или из экспоненциальной в алгебраическую и т.д. Для правильного использования калькулятора, Вам необходимо выбрать форму записи Вашего комплексного числа и ввести данные. В калькулятор можно вводить не только числа и дроби, но и символы (параметры). Ниже представлены необходимые теоретические сведения для правильного использования калькулятора.
где — произвольные действительные числа, называется алгебраической формой записи комплексного числа.
называется тригонометрической формой записи комплексного числа.
Наконец, воспользовавшись формулой Эйлера:
можно получить экпоненциальную (показательную) форму записи комплексного числа:
Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Тригонометрическая форма комплексного числа:
Для всякого комплексного числа $z=x+iy$ справедливо равенство $$z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi).\qquad\qquad\qquad (1)$$ Здесь $|z|=\sqrt,$ a $\varphi$ удовлетворяет условиям: $$\cos\varphi=\frac<\sqrt>,\qquad \sin\varphi=\frac<\sqrt>,\qquad \varphi\in[0, 2\pi).$$
Равенство (1) называют тригонометрической формой комплексного числа $z.$
Примеры:
Следующие комплексные числа представить в тригонометрической форме и изобразить точками на комплексной плоскости:
1.435. $-i$
Решение.
Пусть $z=x+iy=-i,$ то есть $x=0,\,\, y=-1.$ Тогда $$|z|=\sqrt=\sqrt 1=1.$$
$$\cos\varphi=\frac=0,\qquad \sin\varphi=\frac=-1\Rightarrow \varphi=\frac<3\pi>.$$
Ответ : $\cos\frac<3\pi>+i\sin\frac<3\pi>.$
1.438. $\frac.$
Решение.
Запишем число $z=\frac$ в алгебраической форме:
Тригонометрическая форма числа $-i$ найдена в предыдущемпримере (1.435):
Ответ : $\cos\frac<3\pi>+i\sin\frac<3\pi>.$
1.441. $1+\cos\frac<\pi>+i\sin\frac<\pi>.$
Решение.
Таким образом, $\varphi=\frac<\pi>.$
Отсюда находим показательную форму комплексного числа $z=x+iy=1+\cos\frac<\pi>+i\sin<\pi>:$
Ответ: $2\cos\frac<\pi>\left(\cos\frac<\pi>+i\sin\frac<\pi>\right).$
Показательная форма комплексного числа:
Символом $e^$ обозначается комплексное число $\cos\varphi+i\sin\varphi.$ С помощью этого обозначения всякое комплексное число $z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)$ может быть представлено в показательной форме $$z=|z|e^.$$
Примеры.
Представить в показательной форме следующие комплексные числа:
1.475. $\frac.$
Решение.
Приведем число $z=\frac$ к алгебраическому виду:
$$tg\varphi=\frac=\frac>>=\frac.$$ Поскольку число $z$ принадлежит первой четверти, то $\varphi=arctg\frac.$
1.479. $\sin\alpha-i\cos\alpha.$
Решение.
Кроме этого должны выполняться ус ловия
1.482 (а). Данные числа $z_1$ и $z_2$ представить в показательной форме и выполнить указанные действия над ними:
$z_1z_2;$ $\frac,$ если $z_1=2\sqrt 3-2i,$ $z_2=3-3\sqrt 3i.$
Решение.
Запишем числа $z_1$ и $z_2$ в показательной форме:
Поскольку число $z_1$ принадлежит четвертой четверти, то $\varphi_1=arctg>=-\frac<\pi>.$
Поскольку число $z_2$ принадлежит четвертой четверти, то $\varphi_2=arctg=-\frac<\pi>.$
Далее находим $z_1z_2$ и $\frac:$
Ответ: $-24, \frac.$
Домашнее зад ание.
Следующие комплексные числа представить в тригонометрической форме и изобразить точками на комплексной плоскости:
1.436. $1-i\sqrt 3.$
Ответ: $2\left(\cos\frac<5\pi>+i\sin\frac<5\pi>\right).$
Ответ: $\cos\frac<2\pi>+i\sin\frac<2\pi>.$
1.440. $\sin\frac<\pi>+i\cos\frac<\pi>.$
Ответ: $\cos\frac<\pi>+i\sin\frac<\pi>.$
Представить в показательной форме следующие комплексные числа:
1.476. $5-12i.$
1.477. $-3-4i.$
1.479.$\sin\alpha-i\cos\alpha.$
1.480. $\sin\alpha+i(1-\cos\alpha).$
1.482 (б). Данные числа $z_1$ и $z_2$ представить в показательной форме и выполнить указанные действия над ними:
$z^2_1\overline z_2;$ $\frac<\overline z_2>,$ если $z_1=-\sqrt 3+i\sqrt 2,$ $z_2=\sqrt 8-\sqrt 8.$
Высшая математика. Практика.
- Матрицы, определители и системы линейных уравнений.
- Векторная алгебра
- Алгебраические линии первого порядка на плоскости и в пространстве.
- Алгебраические линии второго порядка на плоскости и в пространстве.
- Некоторые понятия математической логики теории множеств.
- Комплексные числа
- Предел функции.
- Дифференцируемость функции, ее дифференциал и производная.
- Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.
- Графики функций и кривые
- Неопределенный интеграл.
- Определенный интеграл и его применение.
- Числовые ряды.
- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
- Экстремумы функций нескольких переменных.
- Двойные интегралы
- Дифференциальные уравнения
Таблицы
- Таблица производных
- Таблица производных сложных функций
- Таблица производных высших порядков
- Таблица интегралов
- Формулы Тейлора
- Греческий алфавит
- Таблица оригиналов и изображений.
- Сравнение функций O(f) и o(f).
- Тригонометрическая таблица