линейная-алгебра — Найти ортогональный базис
Используйте процесс Грама ― Шмидта, чтобы найти ортогональный базис в линейной оболочке следующей системы векторов: $%e_1=\pmatrix$%, $%e_2=\pmatrix$%, $%e_3=\pmatrix$%.
задан 27 Окт ’14 16:00
Рита Вернер
29 ● 1 ● 1 ● 6
100% принятых
1 ответ
Будем строить ортогональный базис $%f_1$%, $%f_2$%, $%f_3$%.
Полагаем $%f_1=e_1$%. Следующий вектор ищем в виде $%f_2=e_2+\alpha f_1$%. Векторы должны быть ортогональны, откуда $%0=(f_1,f_2)=(e_1,e_2)+\alpha(e_1,e_1)$%. Находим скалярные произведения: $%(e_1,e_1)=7$%; $%(e_1,e_2)=-5$%. Отсюда $%\alpha=5/7$%. Чтобы избежать дробей, производим умножение на $%7$%, то есть полагаем $%f_2=7e_2+5f_1=(-9;12;3;-9)$%, и теперь можно сократить на $%3$%, окончательно имея $%f_2=(-3;4;1;-3)$% (в виде столбца).
Теперь ищем третий базисный вектор в виде $%f_3=e_3+\beta f_1+\gamma f_2$%, исходя из условий ортогональности $%0=(f_3,f_1)=(e_3,f_1)+\beta(f_1,f_1)$% и $%0=(f_3,f_2)=(e_3,f_2)+\gamma(f_2,f_2)$%. Скалярные произведения таковы: $%(f_1,f_1)=7$%; $%(f_2,f_2)=35$%; $%(e_3;f_1)=-8$%; $%(e_3;f_2)=24$%. Отсюда $%\beta=8/7$% и $%\gamma=-24/35$%. Производим домножение на 35, полагая $%f_3=35e_3+40f_1-24f_2=(-28;-21;21;7)$%, после чего сокращаем на 7, имея столбец $%f_3=(-4;-3;3;1)$%.
Искомый базис имеет вид $%f_1=(1;1;2;1)$%; $%f_2=(-3;4;1;-3)$%; $%f_3=(-4;-3;3;1)$%. Можно на всякий случай сделать проверку, убедившись в ортогональности построенной системы.
отвечен 27 Окт ’14 16:26
falcao
300k ● 9 ● 38 ● 55
Пример 3. Построение ортонормированного базиса
Построить ортонормированный базис подпространства пространства 
натянутого на систему векторов
и
Решение.Нам требуется построить ортонормированный базис евклидова пространства
которое является линейной оболочкой векторов
Применим к этим векторам процесс ортогонализации.
Вначале возьмём 
Вектор
будем искать в виде
Из условия перпендикулярности
получаем:
Следовательно,
Далее, следующий базисный вектор будем искать в виде
Из условий
и
получаем:
и
Отсюда 
Таким образом, ортогональный базис пространства
таков:
Ортонормированный базис получится, если мы разделим каждый вектор на его длину:
Пример.4 Дополнение системы векторов до ортогонального базиса.
Убедиться в том, что векторы 
ортогональны, и дополнить систему этих векторов до ортогонального базиса.
Решение.Проверим ортогональность. Имеем:
Следовательно,
Таким образом, мы можем положить
Другие векторы
ортогонального базиса удовлетворяют условиям
и
Пусть
Условие
даёт систему
Найдём фундаментальную систему решенийэтой системы. Вычтем из второго уравнения первое, умноженное на 4:
Перенесём
в правую часть:
Переменные
здесьсвободные, а переменные
–связанные. Придадим свободным переменным значения: вначале
затем
и найдём
Составим таблицу:
Линейная алгебра. Ортонормальный базис линейной оболочки и еще несколько примеров на похожие темы.
В пространстве R5 даны три вектора f1(1,2,3,4,5); f2 (5,7,8,13,14); f3 (2,-7,2,-1,2).
1. Найти ортонормированный базис линейной оболочки системы векторов f1, f2, f3.
2. Найти проекцию и ортогональную составляющую вектора f3, при ортогональном проектировании на линейную оболочку векторов f1 и f2.
а) Использую матрицу Грама векторов f1, f2, f3;
б) Используя ортонормальный базис, найденный в пункте 1.
3. К системе уравнений a1x1 + a2x2 = b, где a1 = f1, a2 = f2, b = f1 + f2 + f3, применить метод наименьших квадратов. Найти d(дельта)^2 = (|b — a1x1 — a2x2|)^2
Примечание. Процесс ортоганализации следует применять к векторам f1, f2, f3 в том порядке, в котором они выписаны.
Эту контрольную работу мне нужно сдать в понедельник, 20 числа. Надеюсь на коллективный разум, так как мой здесь бессилен.
Дополнен 13 лет назад
Умники и умницы) от того, сдам я эту контрольную или нет, зависит останусь я в институте или пойду в армию) помогите, кто чем может)
Дополнен 13 лет назад
надеюсь, здесь нет представителей военкомата)
Дополнен 13 лет назад
еще не поздно ответить) мне к 15:30 на экзамен)
Дополнен 13 лет назад
Будут полезны даже ссылки на подобные примеры. Я уже дня 2 мучаюсь с этим =(
Дополнен 13 лет назад
можно и не само решение написать, а примерный план решения. Из серии «. теперь вот этим методом получить вот это. «
Лучший ответ
Коллективный разум работает только с мощным питанием, учитывая такие сроки и количество заданий 🙂 Про*пал ты контрольную.
Ортогональный и ортонормированный базисы евклидова пространства
Так как евклидово пространство является линейным, на него переносятся все понятия и свойства, относящиеся к линейному пространству, в частности, понятия базиса и размерности.
Базис евклидова пространства называется ортогональным , если все образующие его векторы попарно ортогональны, т.е.
Базис евклидова пространства называется ортонормированным , если его векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице:
Теорема 8.5. В конечномерном евклидовом пространстве любую систему ортогональных (ортонормированных) векторов можно дополнить до ортогонального (ортонормированного) базиса.
В самом деле, по теореме 8.2 любую систему линейно независимых векторов, в частности, ортогональную (ортонормированную), можно дополнить до базиса. Применяя к этому базису процесс ортогонализации, получаем ортогональный базис. Нормируя векторы этого базиса (см. пункт 4 замечаний 8.11), получаем ортонормированный базис.
Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей
Пусть — базис евклидова пространства, в котором векторы имеют координаты и соответственно, т.е.
Выразим скалярное произведение, используя следствие 3 из аксиом скалярного произведения:
Преобразуем это выражение, используя операции с матрицами:
где — координатные столбцы векторов , a — квадратная симметрическая матрица, составленная из скалярных произведений
которая называется матрицей Грама системы векторов .
Преимущества ортонормированного базиса
Для ортонормированного базиса формула (8.32) упрощается, так как из условия (8.31) следует, что матрица Грама ортонормированной системы равна единичной матрице: .
1. В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов находится по формуле: , где — координаты вектора — координаты вектора .
2. В ортонормированном базисе длина вектора , где — координаты вектора 3. Координаты вектора находятся при помощи скалярного произведения по формулам: .
В самом деле, умножая обе части равенства на , получаем
Аналогично доказываются остальные формулы.
Изменение матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому
Пусть и — два базиса евклидова пространства к базису . Требуется найти связь матриц Грама систем векторов и
По формуле (8.32) вычислим скалярное произведение векторов в разных базисах:
где и — координатные столбцы векторов в соответствующих базисах. Подставляя в последнее равенство связи , получаем тождество
Отсюда следует формула изменения матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому :
Записав это равенство для ортонормированных базисов и , получаем , так как матрицы Грама ортонормированных базисов единичные: . Поэтому матрица
Свойства определителя Грама
Определитель матрицы (8.33) называется определителем Грама. Рассмотрим свойства этого определителя.
1. Критерий Грама линейной зависимости векторов: система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель Грама этой системы равен нулю.
Действительно, если система линейно зависима, то существуют такие числа , не равные нулю одновременно, что
Умножая это равенство скалярно на и т.д. на , получаем однородную систему уравнений , которая имеет нетривиальное решение . Следовательно, ее определитель равен нулю. Необходимость доказана. Достаточность доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.
Следствие. Если какой-либо главный минор матрицы Грама равен нулю, то и определитель Грама равен нулю.
Главный минор матрицы Грама системы представляет собой определитель Грама подсистемы векторов. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.
2. Определитель Грама не изменяется в процессе ортогонализации системы векторов . Другими словами, если в процессе ортогонализации векторов получены векторы , то
Действительно, в процессе ортогонализации по векторам последовательно строятся векторы
После первого шага определитель Грама не изменяется
Выполним с определителем следующие преобразования. Прибавим ко второй строке первую, умноженную на число , а затем ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на . Получим определитель
Так как при этих преобразованиях определитель не изменяется, то
Значит, после второго шага в процессе ортогонализации определитель не изменяется. Продолжая аналогично, получаем после
Вычислим правую часть этого равенства. Матрица Грама ортогональной системы векторов является диагональной, так как при . Поэтому ее определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:
3. Определитель Грама любой системы векторов удовлетворяет двойному неравенству
Докажем неотрицательность определителя Грама. Если система линейно зависима, то определитель равен нулю (по свойству 1). Если же система линейно независима, то, выполнив процесс ортогонализации, получим ненулевые векторы , для которых по свойству 2:
Оценим теперь скалярный квадрат . Выполняя процесс ортого-1нализации, имеем . Отсюда
Следовательно, по свойству 2 имеем
1. Матрица Грама любой системы векторов является неотрицательно определенной, так как все ее главные миноры также являются определителями Грама соответствующих подсистем векторов и неотрицательны в силу свойства 3.
2. Матрица Грама любой линейно независимой системы векторов является положительно определенной, так как все ее угловые миноры положительны (в силу свойств 1,3), поскольку являются определителями Грама линейно независимых подсистем векторов.
3. Определитель квадратной матрицы неравенству Адамара :
Действительно, обозначив столбцы матрицы можно представить как скалярные произведения (8.27): . Тогда — матрица Грама системы векторов пространства
4. Если положителен. Это следует из пункта 2, учитывая представление произведения как матрицы Грама системы линейно независимых векторов — столбцов матрицы
Изоморфизм евклидовых пространств
Два евклидовых пространства , если они изоморфны как линейные пространства и скалярные произведения соответствующих векторов равны:
где и — скалярные произведения в пространствах , поставим в соответствие каждому вектору его координатный столбец . Это взаимно однозначное соответствие устанавливает изоморфизм линейных пространств: пространства
(см. пункт 1 преимуществ ортонормированного базиса). Такое же выражение дает скалярное произведение (8.27) координатных столбцов , т.е. скалярные произведения соответствующих элементов равны
Следовательно, евклидовы пространства Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).