Как найти угол отклонения маятника

3. Математический маятник

Математическим маятником называют материальную точку (тело небольших размеров), подвешенную на тонкой невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне.

Рис. $1$. Силы, действующие на материальную точку в положении равновесия и при отклонении от положения равновесия

В положении равновесия сила тяжести и сила упругости нити уравновешивают друг друга, и материальная точка находится в покое.

При отклонении материальной точки от положения равновесия на малый угол α на тело будет действовать возвращающая сила $F$, которая является тангенциальной составляющей силы тяжести:

F = mgsin α .

Эта сила сообщает материальной точке тангенциальное ускорение, направленное по касательной к траектории, и материальная точка начинает двигаться к положению равновесия с возрастающей скоростью. По мере приближения к положению равновесия возвращающая сила, а следовательно, и тангенциальное ускорение точки уменьшаются. В момент прохождения положения равновесия угол отклонения α $=0$, тангенциальное ускорение также равно нулю, а скорость материальной точки максимальна.

Далее материальная точка проходит по инерции положение равновесия и, двигаясь далее, сбавляет скорость. В крайнем положении материальная точка останавливается и затем начинает двигаться в обратном направлении.

Период малых собственных колебаний математического маятника длины $l$, неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения $g$, равен

T = 2 π l g .
Обрати внимание!
Период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды колебаний и массы груза.

Наиболее известным практическим использованием маятника является применение его в часах для измерения времени. Впервые это сделал голландский физик X. Гюйгенс.

Рис. $2$. Колебания маятника часов

Поскольку период колебаний маятника зависит от ускорения свободного падения $g$, то часы, которые идут верно в Москве, будут идти вперёд в Санкт-Петербурге. Чтобы эти часы шли верно в Санкт-Петербурге, приведённую длину их маятника нужно увеличить.

В геологии маятник применяют для опытного определения числового значения ускорения свободного падения $g$ в разных точках земной поверхности. Для этого по достаточно большому числу колебаний маятника в том месте, где измеряют $g$, находят период его колебаний, а затем вычисляют ускорение свободного падения, выразив его из формулы периода маятника.

Заметное отклонение величины $g$ от нормы для какой-либо местности называют гравитационной аномалией.

Определение аномалий помогает находить залежи полезных ископаемых.

Опыт показывает, что качающийся маятник сохраняет плоскость, в которой происходят его колебания. Это означает, что если привести в движение маятник, установленный на диске центробежной машины, а диск заставить вращаться, то плоскость качания маятника относительно комнаты изменяться не будет. Это позволяет с помощью опыта обнаружить вращение Земли вокруг своей оси.

В $1850$ г. Ж. Фуко подвесил маятник под куполом высокого здания так, что острие маятника при качании оставляло след на песке, насыпанном на полу. Оказалось, что при каждом качании острие оставляет на песке новый след. Таким образом, опыт Фуко показал, что Земля вращается вокруг своей оси. В условиях вращения Земли при достаточно большой нити подвеса плоскость, в которой маятник совершает колебания, медленно поворачивается относительно земной поверхности в сторону, противоположную направлению вращения Земли.

При исследовании гармонических колебаний твердого тела, которое не моделируют в виде материальной точки, рассматривают физический маятник .

Рис. 1. Силы, действующие на материальную точку в положении равновесия и при отклонении от положения равновесия. . © ЯКласс.

Научный форум dxdy

Последний раз редактировалось Daylikor 01.10.2019, 23:10, всего редактировалось 3 раз(а).

Здравствуйте, помогите разобраться с двумя пунктами задачи.
Маятник массы $m$ подвешен к подставке, укрепленной на тележке. Найти угол отклонения $\alpha$ нити маятника от вертикали и силу натяжения нити $T$ в след. случаях:

1) Тележка свободно скатывается с наклонной плоскости, образующей угол $\alpha$ с горизонтом
2) Тележка с некоторым ускорением $a$ , направленным вдоль наклонной плоскости, вкатывается на неё

В пункте один я не понимаю только правильную запись полученного угла в ответ(с минусом или без него, так как по факту маятник будет отклонен в противоположную движению сторону, а сам угол отклонения будет равен углу наклонной плоскости)

Мое решение второго пункта: направляю по направлению ускорения ось $ x $ и по направлению силы нормального давления ось $ y $ . В результате расстановки проекций получаю,

$ox: ma=T \sin \alpha - mg\sin \alpha$

$oy: T \cos \alpha=mg\cos \alpha$ соответственно получается равенство $T=mg и $a=0$ , что, очевидно, не является правильным ответом(так как по данному условию ускорение не равно нулю)

Помогите, пожалуйста, найти ошибку во втором пункте

Правильный ответ из сборника:

$$T=m\sqrt<g^2+a^2+2ag\sin \alpha></p> <p>$» /></p> <p><img decoding=$

Уравнение движения математического маятника

Математический маятник — классический пример гармонического осциллятора. Он совершает гармонические колебания, которые описываются дифференциальным уравнением:

где $\varphi $ — угол отклонения нити (подвеса) от положения равновесия.

Решением уравнения (1) является функция $\varphi (t):$

где $\alpha $ — начальная фаза колебаний; $_0$ — амплитуда колебаний; $<\omega >_0$ — циклическая частота.

Колебания гармонического осциллятора — это важный пример периодического движения. Осциллятор служит моделью во многих задачах классической и квантовой механики.

Циклическая частота и период колебаний математического маятника

Циклическая частота математического маятника зависит только от длины его подвеса:

Период колебаний математического маятника ($T$) в этом случае равен:

Выражение (4) показывает, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения.

Уравнение энергии для математического маятника

При рассмотрении колебаний механических систем с одной степенью свободы часто берут в качестве исходного не уравнения движения Ньютона, а уравнение энергии. Так как его проще составлять, и оно является уравнением первого порядка по времени. Предположим, что трение в системе отсутствует. Закон сохранения энергии для совершающего свободные колебания математического маятника (колебания малые) запишем как:

где $E_k$ — кинетическая энергия маятника; $E_p$ — потенциальная энергия маятника; $v$ — скорость движения маятника; $x$ — линейное смещение груза маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса $l$, при этом угол — смещение связан с $x$ как:

Максимальное значение потенциальной энергии математического маятника равно:

Максимальная величина кинетической энергии:

где $h_m$ — максимальная высота подъема маятника; $x_m$- максимальное отклонение маятника от положения равновесия; $v_m=<\omega >_0x_m$ — максимальная скорость.

Примеры задач с решением

Задание. Какова максимальная высота подъема шарика математического маятника, если его скорость движения при прохождении положения равновесия составляла $v$?

Решение. Сделаем рисунок.

Формулы математического маятника, пример 1

Пусть ноль потенциальной энергии шарика в его положении равновесия (точка 0).В этой точке скорость шарика максимальна и равна по условию задачи $v$. В точке максимального подъема шарика над положением равновесия (точка A), скорость шарика равна нулю, потенциальная энергия максимальна. Запишем закон сохранения энергии для рассмотренных двух положений шарика:

Из уравнения (1.1) найдем искомую высоту:

Ответ. $h=\frac$

Задание. Каково ускорение силы тяжести, если математический маятник имеющий длину $l=1\ м$, совершает колебания с периодом равным $T=2\ с$? Считайте колебания математического маятника малыми.\textit<>

Решение. За основу решения задачи примем формулу для вычисления периода малых колебаний:

Выразим из нее ускорение:

Проведем вычисления ускорения силы тяжести:

Ответ. $g=9,87\ \frac$

Найти максимальный угол отклонения маятника (1 марта 2009)

Маятник длиной 1 м качается, отклоняясь от отвесного положения на угол 30°. В момент прохождения положения равновесия нить его зацепилась за гвоздь на середине его длины. Найти максимальный угол отклонения укороченного маятника.

Источник: «Сборник задач по физике для 8-10 класов средней школы». В. П .Демкович, Л. П. Демкович. 1981 г., Москва, «Просвещение».

законы сохранения
энергия
маятники
задачи с подсказками

версия для печати
Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Однако при столкновении маятник отдает часть своей кинетической энергии. В итоге, скорость маятника уменьшается. К тому же длина маятника уменьшилась вдвое, а значит уменьшился период (до столкновения) в 1,4 раза, значит, уменьшается амплитуда колебаний вместе с углом отклонения.

Угол отклонения мы найдем по формуле: cos β = x/x_m.

Вопрос: как найти x и скорость маятника? А может быть, их и вообще не надо находить?!

Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 1 марта, 2009 — 21:22 пользователем В. Грабцевич
Потенциальная энергия в первом состоянии равна потенциальной энергии в конечном состоянии:

mgl(1 − cos α) = mg(l/2)(1 − cos β).

Из последнего уравнения находите угол отклонения β.

Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 1 марта, 2009 — 21:57 пользователем Mr.Serge

А почему потенциальная энергия в первом состоянии равна потенциальной энергии во втором состоянии? Ведь после столкновения амплитуда уменьшается, ускорение уменьшается, а значит, и уменьшается потенциальная энергия. Или я не прав?

И еще один вопрос. Как Вы нашли потенциальную энергию? Кажется, формулу Вы вывели с помощью сложения сил, действующих на маятник?

Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 1 марта, 2009 — 22:05 пользователем Mr.Serge

Постойте, потенциальная энергия равна mgh. Очевидно, что h = l (1 − cos α). Только эту запись я не понял.

Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 2 марта, 2009 — 15:40 пользователем Mr.Serge

Все, все. До меня дошло. Я понял, как вывести эту формулу. Это же так просто. Видимо, вчера голова совсем не соображала.

Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 4 марта, 2009 — 23:05 пользователем Mr.Serge

У меня возник еще один вопрос. Допустим, дана масса маятника. Как найти кинетическую энергию? В положении равновесия она будет такой же, как и потенциальная энергия в точке наибольшего отклонения маятника?

Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 5 марта, 2009 — 21:32 пользователем В. Грабцевич

Если пренебрегается потерями энергии на трение о воздух маятника, на трение нити и ее взаимодействие . то выполняется закон сохранения механической энергии:

В противном случае применяется закон сохранения полной энергии:

Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии