Как найти координаты вектора нормали
Первая и третья координаты вектора нормали плоскости, проходящей через точку А(1,2,1) и параллельной прямым система: x= 3+t;
y=1+2t; z=5+3t; система: x= -7+3t; y=-4+2t; z= -1+t; равны единице. Чему равна вторая координата?
Голосование за лучший ответ
Плоскость параллельна прямым, значит ее нормальный вектор перпендикулярен этим прямым, а также направляющим векторам этих прямых. Условие перпендикулярности это равенство нулю скалярного произведения. Отсюда система уравнений:
1+2x+3=0
3+2x+1=0
Система оказалась совместной, x = -2. Условие задачи, что плоскость проходит через точку А (1,2,1) при решении не использовалось.
Ответ: -2
Похожие вопросы
Нормальный вектор прямой
В аналитической геометрии часто требуется составить общее уравнение прямой по принадлежащей ей точке и вектору нормали к прямой.
Замечание 1
Нормаль – синоним для слова перпендикуляр.
Общее уравнение прямой на плоскости выглядит как $Ax + By + C = 0$. Подставляя в него различные значениях $A$, $B$ и $C$, в том числе нулевые, можно определить любые прямые.
Можно выразить уравнение прямой и другим способом:
Это уравнение прямой с угловым коэффициентом. В нем геометрический смысл коэффициента $k$ заключается в угле наклона прямой по отношению к оси абсцисс, а независимого члена $b$ — в расстоянии, на которое прямая отстоит от центра координатной плоскости, т.е. точки $O(0; 0)$.
Статья: Нормальный вектор прямой
Поможем написать реферат за 48 часов
Рисунок 1. Варианты расположения прямых на координатной плоскости. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Нормальное уравнение прямой можно выразить и в тригонометрическом виде:
$x \cdot \cos + y \cdot \sin — p = 0$
где $\alpha$ — угол между прямой и осью абсцисс, а $p$ — расстояние от начала координат до рассматриваемой прямой.
Возможны четыре варианта зависимости наклона прямой от величины углового коэффициента:
- когда угловой коэффициент положителен, направляющий вектор прямой идёт снизу вверх;
- когда угловой коэффициент отрицателен, направляющий вектор прямой идёт сверху вниз;
- когда угловой коэффициент равен нулю, описываемая им прямая параллельна оси абсцисс;
- для прямых, параллельных оси ординат, углового коэффициента не существует, поскольку тангенс 90 градусов является неопределенной (бесконечной) величиной.
«Нормальный вектор прямой» ��
Помощь эксперта по теме работы
Решение задач по учебе за 24 часа
Реферат по этой теме за 48 часов
Чем больше абсолютное значение углового коэффициента, тем круче наклонен график прямой.
Зная угловой коэффициент, легко составить уравнение графика прямой, если дополнительно известна точка, принадлежащая искомой прямой:
$y — y_0 = k \cdot (x — x_0)$
Таким образом, геометрически прямую на координатной всегда можно выразить с помощью угла и расстояния от начала координат. В этом и заключается смысл нормального вектора к прямой — самого компактного способа записи ее положения, если известны координаты хотя бы одной точки, принадлежащей этой прямой.
Определение 1
Вектором нормали к прямой, иначе говоря, нормальным вектором прямой, принято называть ненулевой вектор, перпендикулярный рассматриваемой прямой.
Для каждой прямой можно найти бесконечное множество нормальных векторов, равно как и направляющих векторов, т.е. таких, которые параллельны этой прямой. При этом все нормальные векторы к ней будут коллинеарными, хотя и не обязательно сонаправлены.
Обозначив нормальный вектор прямой как $\vec(n_1; n_2)$, а координаты точки как $x_0$ и $y_0$, можно представить общее уравнение прямой на плоскости по точке и вектору нормали к прямой как
$n_1 \cdot (x — x_n) + n_2 \cdot (y — y_0) = 0$
Таким образом, координаты вектора нормали к прямой пропорциональны числам $A$ и $B$, присутствующим в общем уравнении прямой на плоскости. Следовательно, если известно общее уравнение прямой на плоскости, то можно легко вывести и вектор нормали к прямой. Если прямая, задана уравнением в прямоугольной системе координат
то нормальный вектор описывается формулой:
При этом говорят, что координаты нормального вектора «снимаются» с уравнения прямой.
Нормальный к прямой вектор и ее направляющий вектор всегда ортогональны по отношению друг к другу, т.е. их скалярные произведения равны нулю, в чем легко убедиться, вспомнив формулу направляющего вектора $\bar
(-B; A)$, а также общее уравнение прямой по направляющему вектору $\bar
(p_1; p_2)$ и точке $M_0(x_0; y_0)$:
В том, что вектор нормали к прямой всегда ортогонален направляющему вектору к ней можно убедиться с помощью скалярного произведения:
$\bar
\cdot \bar = -B \cdot A + A \cdot B = 0 \implies \bar
\perp \bar$
Всегда можно составить уравнение прямой, зная координаты принадлежащей ей точки и нормального вектора, поскольку направление прямой следует из его направления. Описав точку как $M(x_0; y_0)$, а вектор как $\bar(A; B)$, можно выразить уравнение прямой в следующем виде:
$A(x — x_0) + B(y — y_0) = 0$
Составить уравнение прямой по точке $M(-1; -3)$ и нормальному вектору $\bar(3; -1)$. Вывести уравнение направляющего вектора.
Для решения задействуем формулу $A \cdot (x — x_0) + B \cdot (y — y_0) = 0$
Подставив значения, получаем:
$3 \cdot (x — (-1)) — (-1) \cdot (y — (-3)) = 0$ $3 \cdot (x + 1) — (y + 3) = 0$ $3x + 3 — y — 3 = 0$ $3x — y = 0$
Проверить правильность общего уравнения прямой можно «сняв» из него координаты для нормального вектора:
$3x — y = 0 \implies A = 3; B = -1 \implies \bar(A; B) = \bar(3; -1),$
Что соответствует числам исходных данных.
Подставив реальные значения, проверим, удовлетворяет ли точка $M(-1; -3)$ уравнению $3x — y = 0$:
Равенство верно. Осталось лишь найти формулу направляющего вектора:
$\bar
(-B; A) \implies \bar
(1; 3)$
Ответ: $3x — y = 0; \bar
(1; 3).$
Как найти нормальный вектор?
Как найти нормальный вектор треугольника, чтоб он был направлен в другую сторону от точки, которая не лежит на плоскости? Пример: есть треугольник ABC с точками A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,1,0) и точка D(0,0,-1) нормальный вектор будет (0,0,1) (перпендикулярен к плоскости и направлен в противоположную сторону от точки D)
Отслеживать
user285292
задан 3 дек 2019 в 20:17
ANGRY SHARK ANGRY SHARK
466 2 2 серебряных знака 15 15 бронзовых знаков
3 дек 2019 в 20:33
@extrn треугольник — АВС, а точка D — это любая точка. И моя задача — найти нормальный вектор к треугольнику, который направлен в другую сторону от точки D.
Вычисление нормали/перпендикуляра
Нормаль (т.е. вектор, перпендикулярный плоскости) часто необходим в процессе создания меша и также может быть полезен при отслеживании пути и других ситуациях. Имея три точки на плоскости, скажем угловые точки треугольника меша, легко вычислить нормаль. Выберите любую из трех точек и затем вычтите ее из каждой из двух остальных точек, чтобы получить два вектора:-
var a: Vector3; var b: Vector3; var c: Vector3; var side1: Vector3 = b - a; var side2: Vector3 = c - a; Векторное произведение этих векторов даст третий вектор, перпендикулярный к искомой поверхности. Для определения порядка, в котором два вектора должны быть использованы в функции векторного произведения, можно использовать “правило левой руки”. Если смотреть сверху на поверхность (из которой должна выходить нормаль), первый вектор должен следовать по часовой стрелке за вторым:-
var perp: Vector3 = Vector3.Cross(side1, side2);
Результат будет направлен в противоположную сторону, если поменять порядок исходных векторов.
Для мешей нормаль должна быть нормализована. Это может быть сделано с помощью свойства normalized, но есть другая хитрость, которая иногда может быть полезна. Вы можете нормализовать перпендикуляр, разделив его на его же длину:-
var perpLength = perp.magnitude; perp /= perpLength; Оказывается, площадь треугольника равна perpLength / 2. Это полезно, если вам нужно найти площадь поверхности всего меша, или вы хотите выбрать треугольники случайно, с вероятностью на основе их относительной площади.