Как иначе называют метод бисекций

Следующее приближенное значение корня лежит на отрезке [a,c]

40) Как изменяется погрешность n-го приближения к корнюf(x)=0 для метода Ньютона?

погрешность на n – м шаге пропорциональна квадрату погрешности на ( n-1) – м шаге ;

41) x называется приближенным корнем уравнения f(x)=0с точностью до E, (g-точный корень уравнения) если:

42) Критерий достижения заданной точности при решении уравнения f(x)=0 методом половинного деления ([a,b] – отрезок, где локализован корень , с – середина этого отрезка, xn+1, xn – последовательные приближения к корню, n – номер итерации) определяется условием:

43) Сходимость метода Ньютона зависит от:

длины отрезка [a,b];

44) Дано уравнение 3×2-3=0 и отрезок изоляции [1/4;2] его корня x=1. Найдите методом Ньютона первое приближение к корню уравнения:

45) Корень некоторого уравнения отделен на отрезке [2;3]. Определите, сколько шагов метода половинного деления надо выполнить для уточнения корня с точностью до 0.1

46) Суть прямого хода метода Гаусса при решении системы линейных алгебраических уравнений заключается в:

сведении матрицы системы к треугольному виду;

47) Суть обратного хода метода Гаусса при решении системы линейных алгебраических уравнений заключается в:

сведении системы к трехдиагональному виду;

48) Моделирование

замещение одного исходного объекта другим объектом, называемым моделью, и проведение экспериментов с моделью с целью получения информации о системе путем исследования свойств модели.

49) Как изменяется погрешность n-го приближения к корню f(x)=0 для метода Ньютона?

погрешность на n – м шаге пропорциональна квадрату погрешности на ( n-1) – м шаге ;

50) Модель — это:

материальный или абстрактный заменитель объекта, отражающий его существенные характеристики;

51) При изучении объекта реальной действительности можно создать:

несколько различных видов моделей, каждая из которых отражает те или иные существенные признаки объекта;

52) Процесс построения модели, как правило, предполагает:

выделение наиболее существенных с точки зрения решаемой задачи свойств объекта;

53) Математическая модель объекта — это:

совокупность записанных на языке математики формул, отражающих те или иные свойства объекта-оригинала или его поведение;

54) К числу математических моделей относится:

формула нахождения корней квадратного уравнения;

55) Описание глобальной компьютерной сети Интернет в виде системы взаимосвязанных следует рассматривать как:

56) По принципам построения математические модели разделяют на:

аналитические и имитационные

57) В зависимости от характера исследуемых реальных процессов и систем математические модели могут быть:

детерминированные и стахостические

58) По виду входной информации модели разделяются на:

непрерывные и дискретные

59) По поведению моделей во времени они разделяются на:

статические и динамические

60) Приведите квадратурную формулу метода Симпсона для вычисления определенного интеграла

61) Приведите формулу трапеции для вычисления определенного интеграла

62) Приведите формулу прямоугольников для вычисления определенного интеграла

63) Если n = 1, то требуется найти Y = Y(x), удовлетворяющую уравнению: dY/dX=f(x,Y) и принимающую при x = x0 заданное значение Y0. Y(x0) = Y0 . Как называется такая задача?

64) Простой численный метод решения задачи Коши

65) отделить корень уравнения x3-x-2=0

66) отделить корень уравнения x3+x2+2x-1=0

67) уточнить корень уравнения x3-x-2=0 методом половинного деления

68) найти первое приближения корня уравнения x3 +x-3=0 методом хорд в промежутке (1,2):

69) Все методы вычисления интегралов делятся на:

Точные и приближенные

70) Точный метод вычисления интегралов был предложен:

Ньютоном и Лейбницем

71) Как иначе называют метод Ньютона?

72) Отделение корней можно выполнить двумя способами:

аналитическим и графическим

73) Этот метод является наиболее распространенным приемом решения систем линейных уравнений, алгоритм последовательного исключения неизвестных

74) — При численном решении задач приходится оперировать двумя видами чисел

точными и приближенными

75) — При численном решении задач приходится оперировать двумя видами чисел

точными и приближенными

76) — К приближенным относятся числа

близкие к истинному значению

77) Если х – точное, значение некоторой величины, а а – его приближение, то разность х–а называется

ошибкой или погрешностью

78) — равенством D(Х) = | х – а | определяется

79) Первая слева отличная от нуля цифра числа х и все расположенные справа от нее цифры называются значащими. Сколько в числе 25,047 значащих цифр?

80) — Первая слева отличная от нуля цифра числа х и все расположенные справа от нее цифры называются значащими. Сколько в числе –0,00250 значащих цифр?

81) — Первая слева отличная от нуля цифра числа х и все расположенные справа от нее цифры называются значащими. Сколько в числе –0,010758 значащих цифр?

82) к числу с фиксированной точкой 0,00000125 соответствует число с плавающнй точкой

83) — к числу с фиксированной точкой 1250000000000 соответствует число с плавающнй точкой

84) запись числа х в нормализованной форме имеет вид х = х0×10р; где 0,1 £ | х0 | < 1. Какое из следующих чисел нормализованное?

которое имеет вид х = х0×10р

например, число -0,00062 в нормализованной форме имеет вид -0,62∙10^(-3)

число 3,14 в нормализованной форме имеет вид 0,314∙10^(1) и т.п.

ищите такие числа

85) модификацией метода простой итерации для решения СЛАУ является

86) — постепенное ослабление какого-либо состояния тела после прекращения действия факторов вызвавших это состояние

87) — Соотношение А–1×А дает

E (единичная матрица)

88) — Соответствие модели моделируемому объекту или процессу.

89) — приблизительное выражение сложной функции посредством более простых

90) — мыслительная операция, основанная на выделении существенных свойств и связей предмета и отвлечении от других, несущественных

91) — запись числа х = х0×10р; где 0,1 £ | х0 | < 1.

Число х0 называется мантиссой числа х, а число р – его порядком.

Определите порядок числа 0,620×103.

92) — запись числа х = х0×10р; где 0,1 £ | х0 | < 1.

Число х0 называется мантиссой числа х, а число р – его порядком.

Определите порядок числа 0,620×10-5.

93) — запись числа х = х0×10р; где 0,1 £ | х0 | < 1.

Число х0 называется мантиссой числа х, а число р – его порядком.

Определите мантиссу числа 0,620×10-5.

94) — запись числа х = х0×10р; где 0,1 £ | х0 | < 1.

Число х0 называется мантиссой числа х, а число р – его порядком.

Определите мантиссу числа 0,00842×104.

95) метод релаксации

Постепенное ослабление какого-либо состояния тела после прекращения действия факторов вызвавших это состояние

96) Адекватность модели

Соответствие модели моделируемому объекту или процессу.

97) Аппроксимация

Приблизительное выражение сложной функции посредством более простых

98) Абстрагирование

Мыслительная операция, основанная на выделении существенных свойств и связей предмета и отвлечении от других, несущественных

Методы дихотомии

Существует довольно очевидная теорема: «Если непрерывная функция на концах некоторого интервала имеет значения разных знаков, то внутри этого интервала у нее есть корень (как минимум, один, но м.б. и несколько)». На базе этой теоремы построено численное нахождение приближенного значения корня функции. Обобщенно этот метод называется дихотомией, т.е. делением отрезка на две части. Обобщенный алгоритм выглядит так:

1. Задать начальный интервал ;
2. Убедиться, что на концах функция имеет разный знак;
3. Повторять
   • выбрать внутри интервала точку ;
   • сравнить знак функции в точке со знаком функции в одном из концов;
     • если совпадает, то переместить этот конец интервала в точку ,
     • иначе переместить в точку другой конец интервала;

Варианты метода дихотомии различаются выбором точки деления. Рассмотрим варианты дихотомии: метод половинного деления и метод хорд.

Метод половинного деления

Метод половинного деления известен также как метод бисекции. В данном методе интервал делится ровно пополам.

Такой подход обеспечивает гарантированную сходимость метода независимо от сложности функции — и это весьма важное свойство. Недостатком метода является то же самое — метод никогда не сойдется быстрее, т.е. сходимость метода всегда равна сходимости в наихудшем случае.

Метод половинного деления:

1. Один из простых способов поиска корней функции одного аргумента.
2. Применяется для нахождения значений действительно-значной функции, определяемому по какому-либо критерию (это может быть сравнение на минимум, максимум или конкретное число).

Метод половинного деления как метод поиска корней функции

Изложение метода

Перед применением метода для поиска корней функции необходимо отделить корни одним из известных способов, например, графическим методом. Отделение корней необходимо в случае, если неизвестно на каком отрезке нужно искать корень.

Будем считать, что корень функции отделён на отрезке . Задача заключается в том, чтобы найти и уточнить этот корень методом половинного деления. Другими словами, требуется найти приближённое значение корня с заданной точностью .

Пусть функция непрерывна на отрезке ,

и — единственный корень уравнения .

(Мы не рассматриваем случай, когда корней на отрезке несколько, то есть более одного. В качестве можно взять и другое достаточно малое положительное число, например, .)

Поделим отрезок пополам. Получим точку и два отрезка .

• Если , то корень найден ().
• Если нет, то из двух полученных отрезков и надо выбрать один такой, что , то есть
  • , если или
  • , если .

  Для того, чтобы найти приближённое значение корня с точностью до , необходимо остановить процесс половинного деления на таком шаге , на котором и вычислить . Тогда можно взять .

  Реализация метода на С++ и числовой пример

  Решим уравнение методом половинного деления. Графическим методом находим отрезок , которому принадлежит искомый корень. Так как , то принимаем .

  Ниже приведен пример программы на Си++, которая решает поставленную задачу.

  Программа 1. Корень уравнения

  #include #include using namespace std; const double epsilon = 1e-2; double f(double x) { return 4- exp(x) - 2*x^2; } int main() { double a, b, c; a = 0; b = 2; while (b - a > epsilon){ c = (a + b) / 2; if(f(b) * f(c)  0) a = c; else b = c; } cout  <(a + b) / 2  return 0; }

  Искомый корень . Вычисления проводились с точностью .

  Промежуточные вычисления представлены в таблице ниже.

  n	an	bn	cn	bn-cn
  1	0	1	0.5	0.5
  2	0.5	1	0.75	0.25
  3	0.75	1	0.875	0.125
  4	0.875	1	0.9375	0.0625
  5	0.875	0.9375	0.90625	0.03125
  6	0.875	0.90625	0.890625	0.015625
  7	0.875	0.890625	0.8828125	0.0078125

  Метод половинного деления как метод оптимизации

  Рис. 1. Поиск экстремума функции методом половинного деления
  Рис. 2. Схема алгоритма метода половинного деления

  Однопараметрическая оптимизация (поиск экстремумов функций одной переменной) является самостоятельной и часто встречаемой задачей. Кроме того, к ней сводится гораздо более сложная задача — поиск экстремума функции многих переменных.

  Рассмотрим метод половинного деления как простейший однопараметрический метод безусловной оптимизации. Данный метод является методом прямого поиска. В нем при поиске экстремума целевой функции используются только вычисленные значения целевой функции.

  Дана функция . Необходимо найти , доставляющий минимум (или максимум) функции на интервале с заданной точностью , т.е. найти

  Запишем словесный алгоритм метода.

  1. На каждом шаге процесса поиска делим отрезок пополам, — координата середины отрезка .
  2. Вычисляем значение функции в окрестности вычисленной точки , т.е.
     .
  3. Сравниваем и и отбрасываем одну из половинок отрезка (рис. 1).
     • При поиске минимума:
       • Если , то отбрасываем отрезок , тогда . (рис. 1.а)
       • Иначе отбрасываем отрезок , тогда . (рис. 1.б)
     • При поиске максимума:
       • Если , то отбрасываем отрезок , тогда .
       • Иначе отбрасываем отрезок , тогда .
  4. Деление отрезка продолжается, пока его длина не станет меньше заданной точности , т.е. .

  Схема алгоритма метода представлена на рис 2.

  При выводе – координата точки, в которой функция имеет минимум (или максимум), – значение функции в этой точке.

  Метод хорд

  Недостаток деления отрезка строго пополам проистекает от того, что он использует лишь знак функции, игноририруя отклонение (абсолютную величину). Но очевидно, что чем меньше (по абсолютной величине) значение функции, тем ближе мы находимся к корню. Метод хорд предлагает делить отрезок в точке, отстоящей от краев отрезка пропорционально абсолютному значению функции на краях. (Название «метод хорд» происходит от того, что точка деления является пересечением отрезка — хорды — с осью абцисс.)

  Изложение метода

  Метод основан на замене функции на каждом шаге поиска хордой, пересечение которой с осью дает приближение корня.

  

  Рис. 3. Метод хорд

  При этом в процессе поиска семейство хорд может строиться:

  1. при фиксированном левом конце хорд, т.е. , тогда начальная точка (рис. 3а);
  2. при фиксированном правом конце хорд, т.е. , тогда начальная точка (рис. 3б);

  В результате итерационный процесс схождения к корню реализуется рекуррентной формулой:

  • для случая а):
  • для случая б):

  

  Рис. 4. Схема алгоритма уточнения корня методом хорд

  Процесс поиска продолжается до тех пор, пока не выполнится условие или .

  Метод обеспечивает быструю сходимость, если , т.е. хорды фиксируются в том конце интервала , где знаки функции и ее кривизны совпадают.

  Схема алгоритма уточнения корня методом хорд представлена на рис. 4.

  Комбинация метода хорд и метода половинного деления

  Метод хорд можно применить в качестве «последнего штриха» после того, как метод половинного деления гарантирует требуемую точность — это не улучшит существенно гарантируемой точности, но, скорее всего, на несколько порядков повысит точность решения.

  Если применять аналогичное уточнение к интервалу, полученному методом хорд, то эффект будет значительно слабее. Это ещё раз иллюстрирует тот факт, что метод хорд очень хорошо работает в условиях малого интервала (близости обеих границ интервала к корню), но неспособен сам создать себе эти условия (приблизить обе границы к корню).

  На вопрос о том, стоит ли использовать попеременное применение метода половинного деления и метода хорд, ответ отрицателен. После того, как метод хорд приближает одну из границ почти вплотную к корню, методу половинного деления придётся долго работать, чтобы гарантировать заданную точность, т.к. метод хорд ее гарантировать не может.

  Поэтому лучше использовать в качестве точки деления что-то среднее: если метод половинного деления предлагает использовать , а метод хорд — , то возьмем . Коэффициент .

  Чему должен быть равен коэффициент ? Его следует не задавать, а вычислять по ходу работы: если при очередной операции интервал уменьшился более чем в два раза (это то, что гарантирует метод половинного деления), то значит, нужно больше доверять методу хорд (уменьшить ), и наоборот.

  Может показаться, что при большом доверии к методу хорд этот комбинированный метод работает так же, как метод хорд. На самом деле, это не так: метод хорд передвигает по направлению к корню только одну границу, а комбинированный метод даже при высоком доверии к методу хорд передвигает и вторую границу, обеспечивая лучшие условия для работы метода хорд, а значит — для ещё большего доверия к нему.

  Список литературы

  • http://dmitrykarpov.nm.ru/misc/dihotomy.htm
  • http://mathfunc.narod.ru/met_dih.html
  • http://www.intuit.ru/department/mathematics/mathprog/9/
  • http://www.intuit.ru/department/calculate/intromathmodel/4/3.html
  • http://calc-x.com/chm/dich.php
  • http://elib.ispu.ru/library/math/sem1/kiselev1/node84.html

  См. также

  Итоговый тест по Численным методам

  Внимание! Все тесты в этом разделе разработаны пользователями сайта для собственного использования. Администрация сайта не проверяет возможные ошибки, которые могут встретиться в тестах.

  Необходимо ответить на вопросы теста, сделать скриншот результата и прислать на почту [email protected]

  Список вопросов теста

  Вопрос 1

  В чем выражается обычно относительная погрешность?

  Варианты ответов

  • В процентах (%)
  • В процентах на единицу (%/ед.)
  • В штуках (шт)
  • В х (х)

  Вопрос 2

  Метод позволяющий получить корни системы с заданной точностью путем сходящихся бесконечных процессов

  Варианты ответов

  • точный метод
  • итерационный метод
  • метод Зейделя
  • относительный метод

  Вопрос 3

  Этот метод является наиболее распространенным приемом решения систем линейных уравнений, алгоритм последовательного исключения неизвестных

  Варианты ответов

  • метод Гаусса
  • метод обратный матриц
  • аналитический метод
  • ведущий метод

  Вопрос 4

  В чем заключается задача отделения корней?

  Варианты ответов

  • В установлении количества корней
  • В установлении количества корней, а так же наиболее тесных промежутков, каждый из которых содержит только один корень.
  • В установлении корня решения уравнения
  • В назначении количества корней

  Вопрос 5

  К методам уточнения корней относится

  Варианты ответов

  • Метод дихотомии (метод половинного деления)
  • Метод хорд
  • Метод касательных
  • Метод аппроксимации

  Вопрос 6

  Как иначе называют метод бисекций?

  Варианты ответов

  • Метод половинного деления
  • Метод хорд
  • Метод коллокации
  • Метод пропорциональных частей

  Вопрос 7

  Отделение корней можно выполнить двумя способами:

  Варианты ответов

  • аналитическим и систематическим
  • аналитическим и графическим.
  • приближением и отделением
  • систематическим и графическим

  Вопрос 8

  Суть комбинированного метода хорд и касательных?

  Варианты ответов

  • Метод хорд и касательных дают приближения к корню с разных сторон.
  • При реализации метода при каждой итерации необходимо вычислять не только значения F(x), но и ее производной
  • Метод ограничивается вычислениями только значения F(x)
  • Нет правильного ответа

  Вопрос 9

  Варианты ответов

  • Способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений
  • Продолжение функции, принадлежащей заданному классу, за пределы ее области определения
  • Замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близким к исходным
  • Метод решения задач, при котором объекты разного рода объединяются общим понятием
  Похожие публикации:

  1. Как открывать файлы ворд в одном окне
  2. Как понять что жесткий диск умирает
  3. Как сделать браузерную онлайн игру
  4. Как удалить майнер который закрывается после открытия диспетчера задач