Почему нельзя решить пример ab ba 7
Предположим, что нам нужно умножить матрицу A на матрицу B.
Чтобы свести эту проблему к уже известной («Умножение строки на столбец»), матрицу A будем рассматривать как набор строк, тогда как матрицу B — как набор столбцов.
Тогда все, что нам предстоит проделать — это умножить каждую строку матрицы A на каждый столбец матрицы B. При этом номера перемножаемых строк и столбцов сохраняют свою силу — в том смысле, что результат умножения, например, пятой строки на третий столбец записывается в пятую строку на третий столбец.
Пример:
Тогда произведением AB называется матрица 
размера m×n , элементы 
которой вычисляются по правилу
Правило умножения строки на столбец:
умножения i-ой строки матрицы A на j-ый столбец матрицы B:
Если обозначить строки матрицы A символами 
, а столбцы матрицы B – символами 
, то правило (1) матричного умножения можно представить в следующем блочном виде:
Таким образом, если матрица A содержит m строк, а матрица B содержит n-столбцов, то произведение AB представляет собой матрицу С размера m × n. Элемент , стоящий в i-ой строке и j-ом столбце матрицы AB, вычисляется по правилу умножения строки на столбец: i-ая строка матрицы A умножается на j-ый столбец матрицы B.
- Произведение AB определено, если число столбцов матрицы A совпадает с числом строк матрицы B. (Другими словами, число элементов в строке матрицы A должно совпадать с числом элементов в столбце матрицы B.)
- Произведение BA определено, если число столбцов матрицы B совпадает с числом строк матрицы A.
- Существование одного из произведений (AB или BA) не влечет за собой существование другого.
- Если определено каждое из таких произведений, то размеры матриц AB и BA не обязательно совпадают друг с другом. Например, результатом умножения матрицы A размера 1×n на матрицу B размера n×1 является число (то есть матрица размера 1×1), тогда как произведение BA представляет собой квадратную матрицу n-го порядка.
- Если матрицы A и B являются квадратными маирицами n-го, то и их произведения AB и BA являются матрицами такого же порядка. Однако даже для таких матриц их произведения в одном и другом порядках равны только в некоторых частных случаях.
- Произведение нескольких матриц, расположенных в определенном порядке, однозначно определено, если число столбцов каждой матрицы равно числу строк соседней матрицы справа. В этом случае для нахождения произведения матриц можно использоать произвольный порядок расстановки скобок (см Свойства матричных операций).
Символическая запись 
означает произведение двух одинаковых квадратных матриц: 
Аналогичным образом определяются другие целые положительные степени квадратной матрицы:
Правило (1) матричного умножения сохраняет свой вид и в том случае, когда элементами матриц A и B являются другие матрицы. Пусть, например, матрицы A и B представлены в виде
 |
(4) |
где A i j и B i j – некоторые матрицы, размеры которых таковы, что соответствующие матричные произведения определены.
Тогда
 |
(5) |
3. Формула квадрата разности
Чтобы разность возвести в квадрат, можно от суммы квадратов первого и второго выражений вычесть удвоенное их произведение:
a − b 2 = a 2 − 2 ab + b 2 .
a − b 2 = a − b ⋅ a − b = a ⋅ a + a ⋅ − b − b ⋅ a − b ⋅ − b = = a 2 − ab − ba + b 2 = a 2 − 2 ab + b 2 .
представить квадрат в виде многочлена: 6 z − 9 2 .
Применим формулу квадрата разности:
6 z − 9 2 = 6 z 2 − 2 ⋅ 6 z ⋅ 9 + 9 2 = 36 z 2 − 108 z + 81 .
Можно раскрыть квадрат как произведение одинаковых многочленов, но вычисления будут более трудоёмкими:
6 z − 9 2 = 6 z − 9 ⋅ 6 z − 9 = 6 z ⋅ 6 z + 6 z ⋅ − 9 − 9 ⋅ 6 z − 9 ⋅ − 9 = = 36 z 2 − 54 z − 54 z + 81 = 36 z 2 − 108 z + 81 .
Почему нельзя решить пример ab ba 7
Сложение определено для матриц одного типа, т.е. для матриц, у которых число строк и столбцов совпадает. Сумма матриц \(A=\\>\) и \(B=\\>\), матрица \(A+B\), определяется следующим образом: \((A+B)_=A_+B_\), \(1 \leq i \leq m, 1 \leq k \leq n\). Иными словами: складываются элементы матриц \(A\) и \(B\), стоящие на одинаковом месте (т.е. на пересечении одинаковых строк и столбцов) и записываются в то же место.
Пусть \[ A=\left( \begin 1 &4 & -1 \\ 3 & -6 & 7 \end \right) , \] \[ B=\left( \begin 2 &1 & 0 \\ 1 & 3 & 4 \end \right) , \] тогда \[ A+B=\left( \begin 3 & 5 & -1 \\ 4 & -3 & 11 \end \right) . \]
Умножение матрицы на число
Пусть \(A=\\>\) — матрица типа \((m,n)\), \(\lambda\) — произвольное число. Тогда матрица \(\<\lambda a_
Пусть \[ A=\left( \begin 1 &4 & -1 \\ 7 & 5 & 2 \\ 3 & -6 & 7 \end \right) , \] тогда \[ 5A=\left( \begin 5 &20 & -5 \\ 35 & 25 & 10 \\ 15 & -30 & 35 \end \right) . \]
Как и в обычной, в матричной арифметике знак умножения иногда не указывают, так что выражения \(c\cdot A\) и \(cA\) равноправны.
Пусть \[ A=\left( \begin 2 & 3 \\ 4 & 5 \end \right), B=\left( \begin 1 & -2 \\ 3 & 4 \end \right). \]
Проверить ответ
\[3A-2B=\left( \begin 4 & 13 \\ 6 & 7 \end \right)\]
Транспонирование матриц
Если для заданной матрицы \(A\) ее строки записать как столбцы, получим новую матрицу, которая называется транспонированной исходной, и обозначается \(A^T\).
Пусть \[ A=\left( \begin 1 &4 & -1 & 4 \\ 7 & 5 & 2 & 2\\ 3 & -6 & 7 & 8 \end \right), \] тогда \[ A^T=\left( \begin 1 &7 & 3 \\ 4 & 5 & -6 \\ -1 & 2 & 7 \\ 4 &2 &8 \end \right) . \]
Подчеркнем, если матрица \(A\) имеет тип (\(m,n)\), то \(A^T\) имеет тип \((n,m)\), так что эта операция, вообще говоря, меняет тип матрицы. В частности, если \(A\) была матрицей-столбцом, \(A^T\) будет матрицей-строкой той же длины. Поэтому из типографских соображений матрицу-столбец часто представляют в виде \((a_1,a_2,a_3. a_n)^T\) (это выражение занимает меньше места).
Элементарные свойства операций с матрицами
Введенные операции обладают многими естественными арифметическими свойствами. Перечислим ряд из них.
1. Для любых матриц \(A,B,C\) одного типа \((A+B)+C=A+(B+C)\)(ассоциативность сложения).
2. Для любых матриц \(A,B\) одного типа \(A+B=B+A\) (коммутативность сложения).
3. Пусть \((m,n)\)-матрица \(O\) состоит из нулей. Такая матрица играет роль нуля при сложении матриц типа \((m,n)\), \(A+O=A\), \(0\cdot A=O\) для любой матрицы \(A\) того же типа.
4. Для любых чисел \(c_1,c_2\) и любой матрицы \(A\) верно \((c_1+c_2)A=c_1A+c_2A\).
5. Для любых матриц \(A,B\) одного типа и любого числа \(c\) верно \(c(A+B)=cA+cB\).
6. Для любых чисел \(c_1,c_2\) и любой матрицы \(A\) верно \((c_1c_2)A=c_1(c_2A)\).
7. Для любой матрицы \(A\) верно \(1\cdot A=A\).
8. Для любых матриц \(A,B\) одного типа \((A+B)^T=A^T+B^T\).
9. Для любого числа \(c\) и любой матрицы \(A\) верно: \((cA)^T=cA^T\).
10. Для любой квадратной матрицы \(detA=detA^T\).
11. Для любой матрицы \((A^T)^T=A\).
Умножение матриц
Рассмотрим сначала умножение матрицы-строки на матрицу столбец. Пусть \(A=(a_1,a_2. a_n)\), \(B=(b_1,b_2. b_n)^T\). Тогда
\[ AB=a_1b_1+a_2b_2+. +a_nb_n=\sum _^na_mb_m. \quad \quad(9) \]
Для того, чтобы было определено умножение между \(A\) и \(B\), необходимо, чтобы длина строки была равна длине столбца. Это условие называют условием согласования типов. Формулу (9) называют правилом умножения строчки на столбец.
Теперь обсудим общий случай. Пусть матрица \(A\) имеет тип \((m,n)\), а матрица \(B\) имеет тип \((n,p)\) (так что длина строки матрицы \(A\) совпадает с длиной столбца матрицы \(B\)). Тогда можно определить их произведение, матрицу \(C\), следующим образом: матрица \(C\) будет иметь тип \((m,p)\), причем для вычисления ее элемента \(C_\), \(1 \leq i \leq m, 1 \leq k \leq p\), следует взять строку с номером \(i\) матрицы \(A\) и умножить на столбец с номером \(k\) матрицы \(B\), \[ c_=a_b_+a_b_+. +a_b_=\sum _^na_b_. \] Таким образом следует вычислить все \(mp\) элементов матрицы \(C\). Еще раз подчеркнем, что для того, чтобы можно было перемножать матрицы \(A\) и \(B\), их типы должны быть согласованы!
Пусть \[ A=\left( \begin 1 &4 & -1 \\ 3 & -6 & 7 \end \right) , B=\left( \begin 2 &1 \\ 1 & 3 \\ -3 &5 \end \right) . \]
В данном случае матрица \(A\) имеет тип (2,3), матрица \(B\) имеет тип (3,2), так что типы матриц согласнованы и в результате умножения \(A\) на \(B\) получим матрицу типа \((2,2)\). Получаем: \[ AB=\left ( \begin 1\cdot 2 +4 \cdot 1+(-1)\cdot (-3) & 1\cdot 1 +4 \cdot 3+(-1)\cdot 5\\ 3\cdot 2 +(-6) \cdot 1+7\cdot (-3) &3\cdot 1 +(-6) \cdot 3+7\cdot 5 \end \right )= \left( \begin 9 & 8\\ -21 & 20 \end \right). \]
Для приведенных матриц произведение \(BA\) не определено — типы матриц \(B\) и \(A\)не согласованы. Это отражает общую ситуацию: результат произведения матриц зависит от порядка сомножителей (в отличие от обычной арифметики) — и даже может не существовать для одного выбора порядка сомножителей, существуя для другого.
Элементарные свойства операций с матрицами (продолжение)
Операция умножения матриц также обладает рядом естественных свойств. (Ниже считается, что типы матриц \(A,B\) согласованы, так что их можно перемножать).
6. Для квадратных матриц \(A,B\) одного типа \(det(AB)=detA \cdot detB\).
7. Рассмотрим квадратную матрицу порядка \(n\), \(E=diag\\). Такая матрица играет выделенную роль в умножении матриц: для любых матриц \(A,B\) имеем \(EA=A\), \(BE=B\). Матрица \(E\) называется единичной матрицей порядка \(n\). Согласно описанным выше результатам, \(detE=1\).
1. Умножить матрицы:
а) \[ \left( \begin 2 & 1 \\ 3 & 4 \end \right)\cdot \left( \begin 1 & -1 \\ 2 & 1 \end \right). \]
б) \[ \left( \begin 3 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end \right)\cdot \left( \begin 1 &1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \end \right). \]
2. Вычислить \[ \left( \begin 3 & 2 \\ -4 & -2 \end \right)^5. \]
3. Вычислить \(AB-BA\), если
а) \[ A=\left( \begin 1 &2 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end \right), B=\left( \begin 4 & 2 & 3 \\ — 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end \right). \]
б) \[ A=\left( \begin 2 &1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end \right), B=\left( \begin 3 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 3 \\3 & 5 & 1 \end \right). \]
а) \(f(A)\), если \(f(x)=x^2-3x+3\), \[ A=\left( \begin -1 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ -1 & 2 & 1 \end \right). \]
б) \(f(A)\), если \(f(x)=x^2+4x-2\), \[ A=\left( \begin 2 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end \right). \]
5. Показать, что каждая матрица второго порядка \[ A=\left( \begin a & b \\ c & d \end \right) \]
удовлетворяет уравнению \[ x^2-(a+d)x+(ad-bc)=0. \]
Обратная матрица
В рамках обычной арифметики обсуждается решение числового уравнения \[ ax=1, \] где \(a\) — заданное число. Если \(a \neq 0\), это уравнение имеет единственное решение, которое обозначается \(x=a^\) и называется обратным к \(a\) числом.
Пусть \(A\) — заданная квадратная матрица порядка \(n\), можно рассмотреть матричное уравнение \[ AX=E. \quad \quad(10) \]
Решение уравнения (\ref) называется матрицей, обратной \(A\).
Для того, чтобы существовала обратная \(A\) матрица, небходимо и достаточно, чтобы матрица \(A\) была невырожденной.
Обратную матрицу обозначают \(A^\).
Основные свойства обратной матрицы.
3. Если квадратные матрицы порядка \(n\) \(A\) и \(B\) невырождены, то \(AB\) тоже невырождена, у нее существует обратная матрица, причем \((AB)^=B^A^\).
4. Для невырожденной квадратной матрицы \(A\) верно: \((A^)^=A\).
5. Для невырожденной квадратной матрицы \(A\) верно: \((A^T)^=(A^)^T\).
Докажите эти свойства обратной матрицы.
Для вычисления эелементов обратной матрицы существуют явные формулы.
Пусть \(A\) — квадратная невырожденная матрица порядка \(n\). Вычислим матрицу \(D\) — матрицу алгебраических дополнений, согласно соотношениям
Пусть \(n=2\), \[ A=\left( \begin a & b \\ c & d \end \right), \] \(detA=ad-bc \neq 0\). Следуя (11), получаем: \[ D=\left( \begin d & -c \\ -b & a \end \right), \] так что \[ A^=\frac\left( \begin d & -b \\ -c & a \end \right). \]
Таким образом, для матрицы порядка 2 формулы для обратной матрицы достаточно простые. Для больших порядков формулы становятся существенно более громоздкими.
Найти обратную матрицу для матрицы
1. \[ A=\left( \begin 2 &2 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end \right). \]
2. \[ A=\left( \begin 2 &-1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end \right). \]
3. \[ A=\left( \begin 1 &1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \end \right). \]
Матричные уравнения
Матричными уравнениями называются уравнения вида \[ AX=G, \quad \quad(12)\] \[ XB=G, \quad \quad(13)\] \[ AXB=G, \quad \quad(14)\] где матрицы \(A,B,G\) заданы и требуется построить матрицу \(X\). Мы будем здесь считать, что матрицы \(A,B,G\) — квадратные одного порядка. Решение этих уравнений нетрудно построить, если матрицы \(A,B\) невырождены, так что существуют их обратные \(A^, B^\). Умножая, например, уравнение (12) слева на матрицу \(A^\), получаем: \[ A^(AX)=(A^A)X=EX=X=A^G. \] Умножая уравнение (13) справа на \(B^\), получаем: \[ (XB)B^=X(BB^)=XE=X=GB^. \] Аналогично, умножая (14) слева на \(A^\) и справа на \(B^\), получим: \[ X=A^GB^. \]
1. Найти решение матричного уравнения (12), если \[ A=\left( \begin 2 & 6 \\ -9 & 3 \end \right) , G=\left( \begin -26 & -50 \\ 27 & -15 \end \right) . \]
2. Найти решение матричного уравнения (12), если \[ A=\left( \begin 8 & -7 \\ -5 & 4 \end \right) , G=\left( \begin 25 & -34 \\ -16 & 22 \end \right) . \]
3. Найти решение матричного уравнения (13), если \[ B=\left( \begin -8 & -5 \\ -9 & 5 \end \right) , G=\left( \begin -20 & 30 \\ -19 & 20 \end \right) . \]
4. Найти решение матричного уравнения (13), если \[ B=\left( \begin 9 & 8 \\ -3 & 7 \end \right) , G=\left( \begin -72 & 23 \\ 0 & 58 \end \right) . \]
5. Найти решение матричного уравнения (14), если \[ A=\left( \begin 4 & 2 \\ 3 & -4 \end \right) , B=\left( \begin -1 & 2 \\ -2 & -1 \end \right) , G=\left( \begin 20 & -50 \\ 26 & 23 \end \right) . \]
6. Найти решение матричного уравнения (14), если \[ A=\left( \begin -4 & -2 \\ -3 & 3 \end \right) , B=\left( \begin 3 & 4 \\ 4 & 3 \end \right) , G=\left( \begin 132 & 134 \\ 18 & 24 \end \right) . \]
Умножение матриц
Произведением матрицы $A_$ на матрицу $B_$ называется матрица $C_$ такая, что элемент матрицы $C$, стоящий в $i$-ой строке и $j$-ом столбце, т.е. элемент $c_$, равен сумме произведений элементов $i$-ой строки матрицы $A$ на соответствующие элементы $j$-ого столбца матрицы $B$.
Умножать матрицы можно тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.
Задание. Вычислить $AB$ и $BA$, если $ A=\left( \begin & \\ & \\ & \end\right) $ , $ B=\left( \begin & \\ & \end\right) $
Решение. Так как $ A=A_ $ , а $ B=B_ $ , то произведение возможно и результатом операции умножения будет матрица $ C=C_ $ , а это матрица вида $ C=\left( \begin> & > \\ > & > \\ > & >\end\right) $ .
$ c_=a_ \cdot b_+a_ \cdot b_=1 \cdot 1+(-1) \cdot 2=-1 $
$ c_=a_ \cdot b_+a_ \cdot b_=1 \cdot 1+(-1) \cdot 0=1 $
$ c_=a_ \cdot b_+a_ \cdot b_=2 \cdot 1+0 \cdot 2=2 $
$ c_=a_ \cdot b_+a_ \cdot b_=2 \cdot 1+0 \cdot 0=2 $
$ c_=a_ \cdot b_+a_ \cdot b_=3 \cdot 1+0 \cdot 2=3 $
$ c_=a_ \cdot b_+a_ \cdot b_=3 \cdot 1+0 \cdot 0=3 $
Выполним произведения в более компактном виде:
Найдем теперь произведение $ D=B A=B_ \cdot A_ $. Так как количество столбцов матрицы $B$ (первый сомножитель) не совпадает с количеством строк матрицы $A$ (второй сомножитель), то данное произведение неопределенно. Умножить матрицы в данном порядке невозможно.
Ответ. $ A B=\left( \begin & \\ & \\ & \end\right) $ . В обратном порядке умножить данные матрицы невозможно, так как количество столбцов матрицы $B$ не совпадает с количеством строк матрицы $A$ .
Свойства произведения матриц:
- Ассоциативность $ (A \cdot B) \cdot C=A \cdot(B \cdot C) $
- Ассоциативность по умножению $ (\mu \cdot A) \cdot B=\mu \cdot(A \cdot B) $
- Дистрибутивность $ A \cdot(B+C)=A \cdot B+A \cdot C$, $(A+B) \cdot C=A \cdot C+B \cdot C $,
- Умножение на единичную матрицу $ E_ \cdot A_=A_ \cdot E_=A_ $
- В общем случае умножение матриц не коммутативно, т.е. $ A B \neq B A $
- $ E A=A $