Как найти сторону треугольника по координатам вершин

Как найти длину стороны треугольника по координатам

Как решать геометрические задачи высокого уровня сложности?

Геометрические задачи любого уровня высокого уровня сложности предполагают наличие у человека умения решать элементарные задачи.

Инструкция 1: Воспользуйтесь формулой для вычисления длины отрезка

Если в вашей задаче в явном виде заданы координаты вершин треугольника, вы можете воспользоваться формулой для вычисления длины отрезка.

Сперва вычислите разницу между координатами соответствующих точек по оси абсцисс и оси ординат. Полученные результаты возведите в квадрат и суммируйте. Квадратный корень из результирующей величины и будет искомой длиной отрезка.

Инструкция 2: Проанализируйте все данные задачи

Если отсутствуют данные для простого решения задачи, необходимо проанализировать все данные, перечисленные в условии.

Обратите внимание на тип описываемого треугольника. Если он прямоугольный, то вам достаточно знать координаты двух вершин: длину третьей стороны вы сможете найти, воспользовавшись формулой Пифагора. Также упрощается ситуация при работе с равнобедренным или равносторонним треугольниками.

Инструкция 3: Обращайте внимание на характерные элементы условия

Обратите внимание на некоторые характерные элементы условия, которые содержат в себе подсказку.

К примеру, в тексте может быть упомянуто, что вершина треугольника лежит на одной из осей, что уже дает вам информацию об одной из координат или проходит через начало координат. Все это важно выписать, чтобы обладать полной информацией.

Инструкция 4: Используйте формулы и пропорциональные отношения

Не забывайте о формулах, позволяющих выразить стороны треугольника через другие его элементы, а также о существующих пропорциональных отношениях.

К числу минимальных вспомогательных уравнений, которые вам пригодятся, относятся формулы для нахождения высоты, медианы и биссектрисы треугольников.

Кроме того, запомните, что две стороны треугольника находятся в таком же отношении друг к другу, как и отрезки, на которые разбивает биссектриса, проведенная к третьей его стороне.

Инструкция 5: Будьте готовы к доказательствам и процедурам вывода

Будьте готовы к тому, что если вы используете в решении те или иные формулы или теоремы, вас могут попросить доказать их или описать процедуру вывода.

В заключение можно сказать, что решение геометрических задач высокого уровня сложности требует не только понимания основных принципов геометрии, но и умения применять формулы, теоремы и анализировать данные задачи. Систематическая тренировка и практика помогут вам улучшить эти навыки и достичь успеха в решении сложных геометрических задач.

Как найти сторону треугольника по координатам вершин

Кристина Иванова

26.01.2021 10:22:11

Геометрия 10-11 класс

По координатам вершин треугольника А В С
А (1; 0), В (-7; 2) , C(-9; 6)
Найти :
1) длины его сторон
2) уравнение его сторон
3) систему неравенств определяющий треугольник
4) внутренние углы треугольника в радианах и в градусах ( с точностью до секунд)
5) длину высоты СD данного треугольника
6)уравнение этой высоты
7)координаты точки D
8)вычислить площадь треугольника по высоте и основанию
9)вычислить площадь треугольника по координатам его вершин
10) сделать чертеж

Даны вершины треугольника ABC.

Построить треугольник, вершины которого находятся в точках А (2; 4), В (-3; 2), С (-3; -4). Найти:

1) уравнения сторон треугольника АВС;

2) координаты точки пересечения медиан;

3) длину и уравнение высоты, опущенной из вершины А;

4) площадь треугольника.

Решение от преподавателя:

Уравнение, прямой проходящей через две точки
1) Уравнения сторон треугольника АВС

2) Координаты точки пересечения медиан

Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Координаты т. E как середины отрезка ВС.

Координаты т. К как середины отрезка АВ.

3) Длина и уравнение высоты, опущенной из вершины А

Расстояние от точки до прямой

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно другой прямой

4) Площадь треугольника

Пример 2:

Решение от преподавателя:

Пример 3:

По координатам вершин треугольника ABC найти:

• периметр треугольника;
• уравнения сторон AB и BC;
• уравнение высоты AD; угол ABC;
• площадь треугольника.

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Даны координаты вершин треугольникаА, В, С.

1) уравнение и длину стороны ВС;

2) уравнение и длину высоты, проведённой из вершиныА;

3) уравнение медианы, проведённой из вершиныА;

4) площадь треугольника.

Решение от преподавателя:

Пример 5:

Решение от преподавателя:

1)

2)

3) Находим координаты точки М – середины стороны ВС:

Определяем длину медианы АМ:

4) Составляем уравнение медианы – прямой АМ:

5) Если ВН – высота, проведенная из вершины В к стороне АС, то, поскольку ВН проходит через точку В перпендикулярно вектору , то составляем уравнение высоты по формуле , где (a,b) – координаты вектора перпендикулярного искомой прямой, – координаты точки, принадлежащей этой прямой. Находим координаты вектора АС:

и подставляем в формулу, ,

6) Длину высоты ВН находим как расстояние от точки В до прямой АС:

7) Площадь треугольника АВС:

8) Находим угол ВАС треугольника:

9) Составляем уравнение прямой, проходящей через т.А параллельно ВС:

Ответ:

Пример 6:

Решение от преподавателя:

1. Уравнение прямой
   Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁) и A₂(x₂; y₂), представляется уравнениями:

   Уравнение прямой AB
   Каноническое уравнение прямой:

   или

   или
   y = -3 /₇x + 16 /₇ или 7y + 3x — 16 = 0

2. Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
   
   
   M(3;1)
   Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(-8;2) и М(3;1), поэтому:
   Каноническое уравнение прямой:

   или

   или
   y = -1 /₁₁x + 14 /₁₁ или 11y + x — 14 = 0

3. Уравнение высоты через вершину C
   Прямая, проходящая через точку N₀(x₀;y₀) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:

   Найдем уравнение высоты через вершину C

   y = 7 /₃x + 62 /₃ или 3y -7x — 62 = 0

4. уравнение параллельной прямой AB, проходящей через точку (-8,2)
   Уравнение прямой AB: y = -3 /₇x + 16 /₇
   Уравнение KN параллельно AB находится по формуле:
   y — y₀ = k(x — x₀)
   Подставляя x₀ = -8, k = -3 /₇, y₀ = 2 получим:
   y-2 = -3 /₇(x-(-8))
   или
   y = -3 /₇x — 10 /₇ или 7y + 3x +10 = 0

Пример 7:

Даны координаты вершин треугольника: A(1,1), B(4,13), C(10,5).

Решение от преподавателя:

1) Длина стороны AB.
Расстояние d между точками M₁(x₁; y₁) и M₂(x₂; y₂) определяется по формуле:

2) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁) и A₂(x₂; y₂), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = 4x -3 или y -4x +3 = 0, угловой коэффициент к₁=4
Уравнение прямой AC
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = 4 /₉x + 5 /₉ или 9y -4x — 5 = 0, угловой коэффициент к₂=4/9
3) Угол между прямыми

4) Уравнение высоты через вершину C
Прямая, проходящая через точку N₀(x₀;y₀) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:

Найдем уравнение высоты через вершину C

y = -1 /₄x + 15 /₂ или 4y +x -30 = 0
Данное уравнение можно найти и другим способом. Для этого найдем угловой коэффициент k₁ прямой AB.
Уравнение AB: y = 4x -3, т.е. k₁ = 4
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k₁*k = -1.
Подставляя вместо k₁ угловой коэффициент данной прямой, получим:
4k = -1, откуда k = -1 /₄
Так как перпендикуляр проходит через точку C(10,5) и имеет k = -1 /₄,то будем искать его уравнение в виде: y-y₀ = k(x-x₀).
Подставляя x₀ = 10, k = -1 /₄, y₀ = 5 получим:
y-5 = -1 /₄(x-10)
или
y = -1 /₄x + 15 /₂ или 4y + x — 30 = 0
Найдем точку пересечения с прямой AB:
Имеем систему из двух уравнений:
y -4x +3 = 0
4y + x — 30 = 0
Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение.
Получаем:
x = 42 /₁₇
y = 117 /₁₇
D( 42 /₁₇; 117 /₁₇)
Длина высоты треугольника, проведенной из вершины C
Расстояние d от точки M₁(x₁;y₁) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:

Найдем расстояние между точкой C(10;5) и прямой AB (y -4x +3 = 0)

5,7) Уравнение медианы треугольника
Обозначим середину стороны BC буквой Е. Тогда координаты точки Е найдем по формулам деления отрезка пополам.


Е(7;9)
Уравнение медианы AЕ найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки A(1;1) иЕ(7;9), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = 4 /₃x -1 /₃ или 3y -4x +1 = 0
Найдем длину медианы.
Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой:

Обозначим середину стороны AC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.


M( 11 /₂;3)
Уравнение медианы BM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана BМ проходит через точки B(4;13) и М( 11 /₂;3), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = -20 /₃x + 119 /₃ или 3y + 20x — 119 = 0
Найдем точку пересечения медиан.
Имеем систему из двух уравнений:
3y -4x +1 = 0
3y + 20x — 119 = 0
Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение.
Получаем:
x = 5
y = 19 /₃

6) CD—диаметр окружности. Центр окружности точка О лежит в середине отрезка CD

Уравнение окружности (x-x₀) 2 +(y-y₀) 2 =r 2

(x-106/17) 2 +(y-101/17) 2 =256/17

8) Уравнение прямой, параллельной CD, проходящей через точку A

Так как прямая проходит через точку А(1,1) и имеет k = -1 /₄, ( так как уравнение CD:y = -1 /₄x + 15 /₂ или 4y + x — 30 = 0 ),
то будем искать уравнение в виде: y-y₀ = k(x-x₀).
Подставляя x₀ = 1, k = -1 /₄, y₀ = 1получим:
y-1 = -1 /₄(x-1)
или
y = -1 /₄x + ¼+1 или 4y + x — 5 = 0

Пример 8:

Решение от преподавателя:

Точка D – середина стороны АВ , ее координаты равны полусумме координат А и В. Получим D(1, -1)

Пример 9:

Даны координаты вершин треугольника АВС: А (3,-2), В (-5,-4), С (-1,6).

Найдите: 1) уравнения сторон треугольника АВ, ВС и АС;

2) периметр (сумму длин) треугольника;

3) уравнение высоты СН;

4) расстояние d от точки С до прямой АВ;

5) сделайте чертеж.

Решение от преподавателя:

1) уравнения сторон треугольника АВ, ВС и АС

Уравнение, прямой проходящей через две точки

2) периметр (сумму длин) треугольника

Расстояние между двумя точками

3) уравнение высоты СН

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно другой прямой

4) расстояние d от точки С до прямой АВ

Расстояние от точки до прямой

Пример 10:

Найти: 1) уравнение стороны AB;

2) уравнение медианы, проведенной из вершины C;

3) уравнение высоты, проведенной из вершины C ;

4) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB .

A (6; 0), B (2; − 6), C (−3; −9).

Решение от преподавателя:

Пример 11:

Решение от преподавателя:

Пример 12:

Дан треугольник с координатами вершин найти:

а) длину стороны AB;

б) косинус угла ABC;

в) площадь треугольника ABC (через векторное произведение);

Решение от преподавателя:

Пример 13:

Решение от преподавателя:

Даны координаты вершин треугольника: A(6,0), B(2,-6), C(-3,-9).
1) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁) и A₂(x₂; y₂), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = 3 /₂x -9 или 2y -3x +18 = 0

2) Уравнение медианы треугольника
Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.


M(4;-3)
Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(-3;-9) и М(4;-3), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = 6 /₇x -45 /₇ или 7y -6x +45 = 0
3) Уравнение высоты через вершину C
Прямая, проходящая через точку N₀(x₀;y₀) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:

Найдем уравнение высоты через вершину C

y = -2 /₃x -11 или 3y +2x + 33 = 0
4) Уравнение прямой, параллельной AB, проходящей через С(-3,-9)
Уравнение прямой AB: 2y -3x +18 = 0
Уравнение СN параллельно AB находится по формуле:

Пример 14:

Даны вершины треугольника А(8,1), В(0,3), С(-2,-3). Напишите уравнения стороны AB, медианы AD, высоты BE.

Решение от преподавателя:

Даны координаты вершин треугольника: A(8,1), B(0,3), C(-2,-3).
1) Уравнение прямой (АВ)
Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁) и A₂(x₂; y₂), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB

или

или
4y + x — 12 = 0

2)Уравнение медианы (АD)

Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.


M(-1;0)
Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(8;1) и М(-1;0), поэтому:

или

или
y = 1 /₉x + 1 /₉ или 9y -x — 1 = 0
3) Уравнение высоты через вершину B

Найдем уравнение высоты через вершину B

Для этого найдем угловой коэффициент k₁ прямой AC.

Уравнение прямой AC
уравнение прямой, проходящей через 2 точки:

или

или
y = 2 /₅x -11 /₅ т.е. k₁ = 2 /₅
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k₁*k = -1.
Подставляя вместо k₁ угловой коэффициент данной прямой, получим:
2 /₅k = -1, откуда k = -5 /₂
Так как перпендикуляр проходит через точку B(0,3) и имеет k = -5 /₂,то будем искать его уравнение в виде: y-y₀ = k(x-x₀).
Подставляя x₀ = 0, k = -5 /₂, y₀ = 3 получим:
y-3 = -5 /₂(x-0)
или
y = -5 /₂x + 3 или 2y + 5x — 6 = 0 — уравнение (ВЕ)

Пример 15:

Дан треугольник АВС. Найти:

а) величину угла А;

б) уравнение стороны АС;

в) уравнение высоты и медианы, опущенных из вершины В.

Как найти стороны треугольника, если даны координаты вершин х1;у1 х2;у2 х3;у3 .

Найти координаты векторов, образующих каждую сторону:
АВ=(х2-х1; у2-у1)
АС и АД аналогично.
Найти длины векторов |AB|=корень из суммы квадратов соответствующих координат векторов
Удачи!

Дядя ВаняПрофи (959) 14 лет назад
Спасибо большое. но не могли бы Вы немного по подробнее.
я не совсем понял. пожалуйста )))
ALEXANDRМастер (1350) 10 лет назад
Это бред какой-то
в системе координат построить данные треугольника и измерить в маштабе
Adil ShonУченик (161) 7 лет назад
Это слишком жестко)
Блин, а как это понять человеку, который он не проходил?
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.