2. Наименьшее общее кратное
два маршрутных такси отвозят пассажиров из аэропорта в ближайшие населённые пункты. Одно маршрутное такси возвращается в аэропорт через \(25\) минут, другое — через \(35\) минут. После возвращения в аэропорт они сразу же снова уезжают. Если сейчас маршрутные такси отправятся одновременно в рейс, то через сколько часов они вновь вместе окажутся в аэропорту?
Решая задачу, приходим к выводу, что число часов, через которое они вновь вместе уйдут в рейс, должно делиться без остатка на \(25\) и на \(35\), т. е. должно быть кратным этим числам.
Выпишем числа, кратные \(25\). Получим: \(25\); \(50\); \(75\); \(100\); \(125\); \(150\); \(175\); \(200\); \(225\); \(250\); \(275\); \(300\); \(325\); \(350\); \(375\).
Выпишем числа, кратные \(35\). Получим: \(35\); \(70\); \(105\); \(140\); \(175\); \(210\); \(245\); \(280\); \(315\); \(350\); \(385\).
Общими кратными чисел \(25\) и \(35\) будут числа: \(175\); \(350\).
Наименьшим из них является число \(175\), т. е. впервые маршрутные такси вновь вместе уйдут в рейс только через \(175\) минут.
Число \(175\) называют наименьшим общим кратным чисел \(25\) и \(35\).
Наименьшим общим кратным натуральных чисел \(m\) и \(n\) называют наименьшее натуральное число, которое кратно и \(m\), и \(n\).
Наименьшее общее кратное обозначаем \(НОК(m; n)\).
\(НОК(25; 35) = 175\).
Нахождение наименьшего общего кратного применяется при выполнении действий сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.
Выполняя эти действия, обычно стараются найти наименьшее из общих кратных знаменателей.
Наименьшее общее кратное нескольких чисел можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел.
Правило нахождения \(НОК\) нескольких чисел:
1. разложить данные числа на простые множители.
2. Выписать все простые числа, которые входят хотя бы в одно из полученных разложений.
3. Каждое из выписанных простых чисел взять с наибольшим из показателей степени, с которыми оно входит в разложения данных чисел.
Наименьшее общее кратное
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 . Если натуральное число a делится на натуральное число b , то число a называют кратным числу b .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 . Общим кратным нескольких натуральных чисел называют натуральное число, которое является кратным для каждого из этих чисел.
В частности, общим кратным нескольких чисел является произведение этих чисел.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 . Наименьшее из общих кратных нескольких натуральных чисел называют наименьшим общим кратным (НОК) этих чисел.
Алгоритм нахождения наименьшего общего кратного
Рассмотрим алгоритм нахождения наименьшего общего кратного нескольких чисел на следующем примере.
ПРИМЕР . Найти наименьшее общее кратное чисел 100 , 750 и 800 .
РЕШЕНИЕ . Разложим эти числа на простые множители:
Простой множитель 2 в первое разложение на множители входит в степени 2 , во второе разложение – в степени 1 , в третье разложение – в степени 5 . Обозначим наибольшую из этих степеней буквой k . Очевидно, что k = 5 .
Простой множитель 3 в первое разложение на множители входит в степени 0 (другими словами, множитель 3 в первое разложение на множители вообще не входит), во второе разложение входит в степени 1 , в третье разложение – в степени 0 . Обозначим наибольшую из этих степеней буквой l . Очевидно, что l = 1 .
Простой множитель 5 в первое разложение на множители входит в степени 2 , во второе разложение – в степени 3 , в третье разложение – в степени 2 . Обозначим наибольшую из этих степеней буквой m . Очевидно, что m = 3 .
Теперь рассмотрим число:
то число и есть наименьшее общее кратное чисел 100 , 750 и 800 .
Связь между наибольшим общим делителем и наименьшим общим кратным двух натуральных чисел
УТВЕРЖДЕНИЕ . Наименьшее общее кратное двух чисел можно найти, разделив произведение этих чисел на их наибольший общий делитель.
Действительно, рассмотрим, например, два числа: 10 и 75 . Разлагая эти числа на простые множители, получим
Используя алгоритмы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел, получаем, что наибольший общий делитель этих чисел равен 5 , а наименьшее общее кратное этих чисел равно 150 . Поскольку произведение чисел 10 и 75 равно 750 , то справедливо соотношение
что и требовалось показать.
ЗАМЕЧАНИЕ . Поскольку наибольший общий делитель двух взаимно простых чисел равен 1 , то наименьшее общее кратное двух взаимно простых чисел равно их произведению.
Справочник по математике для школьников
- Арифметика
- Алгебра
- Тригонометрия
- Геометрия (планиметрия)
- Геометрия (стереометрия)
- Элементы математического анализа
- Вероятность и статистика
Арифметика
- Арифметика целых чисел
- Целые числа. Десятичная система счисления
- Арифметика. Арифметические действия
- Делимость натуральных чисел. Деление с остатком. Признаки делимости
- Простые и составные числа
- Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа
- Наименьшее общее кратное
- Дробь. Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа
- Сравнение дробей
- Действия с дробями и смешанными числами
- Конечные и бесконечные десятичные дроби
- Бесконечные периодические и непериодические десятичные дроби
- Арифметические действия с дробями, выраженными в различных формах
- Стандартная форма записи числа
- Вещественные числа, рациональные и иррациональные числа
- Проценты. Решение задач на проценты
- Простые и сложные проценты. Предоставление кредитов на основе процентной ставки
- Пропорции, члены пропорции. Основное свойство пропорции
- Прямо пропорциональные и обратно пропорциональные величины
- Золотое отношение (золотое сечение)
- Таблицы квадратов натуральных чисел от 1 до 100
- Таблицы кубов натуральных чисел от 1 до 100
- Таблицы степеней от 2-ой до 10-ой для натуральных чисел от 1 до 25
- Таблицы произведений натуральных чисел от 1 до 20
- Таблица простых чисел от 1 до 10000
- Латинский алфавит
- Греческий алфавит
Учебные пособия для школьников
- Задачи на проценты
- Квадратный трехчлен
- Метод координат на плоскости
- Прогрессии
- Решение алгебраических уравнений
- Решение иррациональных неравенств
- Решение логарифмических неравенств
- Решение логарифмических уравнений
- Решение показательных неравенств
- Решение показательных уравнений
- Решение рациональных неравенств
- Решение тригонометрических уравнений
- Степень с рациональным показателем
- Системы уравнений
- Тригонометрия в ЕГЭ по математике
- Уравнения и неравенства с модулями
- Фигуры на координатной плоскости, заданные неравенствами
Нахождение НОД и НОК чисел
Онлайн-калькулятор «Нахождение НОД и НОК чисел«. Наш калькулятор поможет вам найти наибольший общий делить (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) чисел. Особенностью данного калькулятора является то, что он может находить НОК и НОД не только двух чисел, но и трех или четырех чисел. Введите натуральные числа и нажмите кнопку «Вычислить» и наш калькулятор не просто выдаст ответ, но и представит подробное решение, где последовательно будет изложен порядок нахождения НОД и НОК чисел.
Калькулятор для нахождения НОД и НОК чисел
Выберите количество чисел, для которых требуется найти НОД и НОК:
2 числа 3 числа 4 числаПервое число Второе число Наибольший общий делитель нескольких чисел – это наибольшее натуральное целое число, на которое эти числа делятся без остатка. Наибольший общий делитель обозначается следующим образом: НОД (18; 48) = 6
Наименьшее общее кратно нескольких чисел – это самое меньшее число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка. Например: НОК (18; 48) = 144
Это следует знать! Как определить, что число делится на 3 без остатка? Очень просто – на 3 делятся только те числа, сумма цифр которых делится на 3. Например: число 795 делится на 3, так как сумма его цифр 7 + 9 + 5 = 21 делится на 3.
21 : 3 = 7Наименьшее общее кратное онлайн
Наименьшим общим кратным (НОК) двух целых чисел m и n называется наименьшее натуральное число, которое делится и на m, и на n.
Как найти наименьшее общее кратное?
Наименьшее общее кратное двух целых чисел m и n равно отношению произведения m и n к наибольшему общему делителю НОД(m, n):
НОК(m, n) = (m · n) / НОД(m, n).
Пример. Найти НОД и НОК чисел 450 и 390.
Представим числа как произведение их простых множителей:
450 = 2 · 3 · 3 · 5 · 5 = 2 1 · 3 2 · 5 2 ,
390 = 2 · 3 · 5 · 13 = 2 1 · 3 1 · 5 1 · 13 1 .
Видим, что общими являются множители 2, 3 и 5. Наименьшая степень каждого множителя 1. Тогда НОД(450, 390) = 2 · 3 · 5 = 30.
Зная НОД этих чисел, можно легко найти их НОК. Для этого произведение чисел следует разделить на их НОД:
НОК(450, 390) = (450 · 390) / 30 =
= (2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 2 · 3 · 5 · 13) / (2 · 3 · 5) =
= 2 · 3 · 5 · 5 · 13 = 5850
Онлайн калькулятор наименьшего общего кратного
Онлайн калулятор вычисляет наименьшее общее кратное нескольких чисел. Числа вводите через запятую.
Смотрите также
- Разложение числа в произведение простых множителей
- Нахождение наибольшего общего делителя
- Признаки делимости