Как найти сумму функционального ряда

2.4. Нахождение суммы функционального ряда

функционального ряда и области его сходимости к этой сумме.

Нахождение суммы ряда почленным интегрированием.

1. Пусть дан ряд вида . По признаку Коши или

признаку Даламбера область сходимости определяется неравенством . Если , то ряд — расходящийся.

Если , то ряд сходится условно (по признаку Лейбница). Следовательно, область сходимости находится из неравенства . Затем делаем замену в исходном ряде; получаем степенной ряд с областью сходимости . Используем формулу для вычисления суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем

и очевидное равенство

Учитывая, что степенной ряд можно почленно интегрировать по любому отрезку , целиком принадлежащему интервалу сходимости, и используя формулу (13), получаем

Заметим, что так как ряд (12) сходится в граничной точке t=-1, то сумма ряда непрерывна в этой точке (справа) и . Далее вычисляем интеграл (с переменным верхним пределом), заменяем t на и получаем ответ.

1. Если дан ряд вида , то следует либо

применить теорему о почленном интегрировании степенного ряда дважды, либо разложить дробь на элементарные и вычислить сумму каждого ряда почленным интегрированием.

Пример. Найти сумму ряда и указать область

его сходимости к этой сумме.

Решение. Данный ряд степенной. Находим его интервал сходимости. По признаку Коши имеем

. Из неравенства находим . Исследуем поведение ряда в граничных точках. При — расходящийся гармонический ряд. При — условно сходящийся ряд по признаку Лейбница. Следовательно, данный ряд сходится при . Для нахождения суммы ряда сделаем замену . Получим геометрический ряд , сходящийся при . Используя равенство (13) и почленное интегрирование степенного ряда, получаем:

Замечание. Степенной ряд (10) сходится абсолютно и равномерно на всяком отрезке, лежащем внутри его интервала сходимости; ряд (10) можно почленно интегрировать и дифференцировать внутри его интервала сходимости , т.е. если то для имеем и

Задание 17. Найти сумму ряда и указать область сходимости к этой сумме.

Найдем сумму каждого из этих рядов в их области сходимости. Сначала рассмотрим ряд

Используем формулу для вычисления суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

, где , , и равенство (13).Учитывая, что степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке , целиком принадлежащем интервалу сходимости, получаем первую сумму:

Т.к. ряд сходится в граничной точке х=-1, то его сумма непрерывна в этой точке: .Значит,

Аналогично находим вторую сумму с учетом (14):

Таким образом, сумма исходного ряда

Решение. Находим область сходимости функционального ряда, применяя признак Даламбера

Область сходимости определяется неравенством , или . Решая его, получаем или . При имеем — расходящийся ряд (т.к. ~ ). Следовательно, ряд сходится при . Сделаем замену . Получим ряд с областью сходимости . Используя формулу (12): равенство (13): и почленное интегрирование на любом отрезке, принадлежащем области сходимости, получаем

Заменяя t на , получаем сумму

Нахождение суммы ряда почленным дифференцированием.

I. Пусть дан ряд вида .

Сначала определяем область сходимости ряда, например, по признаку Коши. Получаем неравенство . Если , то ряд расходится, т.к. не выполнено необходимое

условие сходимости . Следовательно, область

сходимости определяется неравенством . Затем делаем замену и записываем ряд в виде суммы двух рядов . Для нахождения сумм этих рядов используем формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии и очевидное равенство

Учитывая, что степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой точке интервала сходимости, и используя равенство

Далее вычисляем производную, делаем замену

и записываем ответ.

II. Если дан ряд вида , то вычисляем сумму трех рядов , и , причем при вычислении суммы ряда применяем теорему о почленном дифференцировании степенного ряда дважды.

Задание 18. Найти сумму ряда и указать область

сходимости ряда к этой сумме.

Решение. а). Находим область сходимости данного ряда по признаку Даламбера

Отсюда . В граничных точках ряд расходится, т.к. не выполнено необходимое условие сходимости. Итак, ряд сходится (и притом абсолютно) в интервале (-1;1).

б). Делаем в исходном ряде замену и записываем в виде суммы двух рядов

Для нахождения S(t) достаточно найти суммы рядов

Учитывая, что степенной ряд можно почленно

дифференцировать в любой точке интервала сходимости,

в) Заменяя на , получаем

Решение. По признаку Коши интервал сходимости

степенного ряда определяется неравенством , т.е. ряд сходится в интервале (-1;1). Для нахождения суммы ряда достаточно представить ряд в виде суммы трех рядов и найти суммы рядов:

где применили один раз почленное дифференцирование по x;

Т.к. выше найденная на предыдущем шаге сумма ряда

, то еще раз применив почленное дифференцирование по x к ряду; , получаем .Таким образом, сумма исходного ряда равна

Как найти сумму числового и функционального ряда

Числовой ряд является некой последовательностью, которая рассматривается совместно с другой последовательностью (ее еще называют последовательностью частичных сумм). Подобные понятия применяются в математическом и комплексном анализе.

Сумму числового ряда можно легко вычислить в Excel с помощью функции РЯД.СУММ. Рассмотрим на примере, как работает данная функция, а после построим график функций. Научимся применять числовой ряд на практике при подсчете роста капитала. Но для начала немного теории.

Сумма числового ряда

Числовой ряд можно рассматривать как систему приближений к числам. Для его обозначения применяют формулу:

Здесь показана начальная последовательность чисел ряда и правило суммирования:

• ∑ — математический знак суммы;
• a_i — общий аргумент;
• _i — переменная, правило для изменения каждого последующего аргумента;
• ∞ — знак бесконечности, «предел», до которого проводится суммирование.

Запись обозначает: суммируются натуральные числа от 1 до «плюс бесконечности». Так как _i = 1, то подсчет суммы начинается с единицы. Если бы здесь стояло другое число (например, 2, 3), то суммировать мы начинали бы с него (с 2, 3).

В соответствии с переменной _i ряд можно записать развернуто:

= а₁ + а₂ + а₃ + а₄ + а₅ + … (до «плюс бесконечности).

Определение суммы числового ряда дается через «частичные суммы». В математике они обозначаются Sn. Распишем наш числовой ряд в виде частичных сумм:

Сумма числового ряда – это предел частичных сумм S_n. Если предел конечен, говорят о «сходящемся» ряде. Бесконечен – о «расходящемся».

Сначала найдем сумму числового ряда:

Теперь построим в Excel таблицу значений членов ряда:

Общий первый аргумент берем из формулы: i=3.

Все следующие значения _i находим по формуле: =B4+$B$1. Ставим курсор в нижний правый угол ячейки В5 и размножаем формулу.

Найдем значения. Делаем активной ячейку С4 и вводим формулу: =СУММ(2*B4+1). Копируем ячейку С4 на заданный диапазон.

Значение суммы аргументов получаем с помощью функции: =СУММ(C4:C11). Комбинация горячих клавиш ALT+«+» (плюс на клавиатуре).

Функция РЯД.СУММ в Excel

Для нахождения суммы числового ряда в Excel применяется математическая функция РЯД.СУММ. Программой используется следующая формула:

• х – значение переменной;
• n – степень для первого аргумента;
• m – шаг, на который увеличивается степень для каждого последующего члена;
• а – коэффициенты при соответствующих степенях х.

Важные условия для работоспособности функции:

• все аргументы обязательные (то есть все должны быть заполнены);
• все аргументы – ЧИСЛОвые значения;
• вектор коэффициентов имеет фиксированную длину (предел в «бесконечность» не подойдет);
• количество «коэффициентов» = числу аргументов.

Вычисление суммы ряда в Excel

Та же функция РЯД.СУММ работает со степенными рядами (одним из вариантов функциональных рядов). В отличие от числовых, их аргументы являются функциями.

Функциональные ряды часто используются в финансово-экономической сфере. Можно сказать, это их прикладная область.

Например, положили в банк определенную сумму денег (а) на определенный период (n). Имеем ежегодную выплату х процентов. Для расчета наращенной суммы на конец первого периода используется формула:

На конец второго и последующих периодов – вид выражений следующий:

S₂ = a (1 + x) 2 ; S₃ = a (1 + x) 2 и т.д.

Чтобы найти общую сумму:

S_n = a (1 + x) + a (1 + x) 2 + a (1 + x) 3 + … + a (1 + x) n

Частичные суммы в Excel можно найти с помощью функции БС().

Исходные параметры для учебной задачи:

Используя стандартную математическую функцию, найдем накопленную сумму в конце срока сумму. Для этого в ячейке D2 используем формулу: =B2*СТЕПЕНЬ(1+B3;4)

Теперь в ячейке D3 решим эту же задачу с помощью встроенной функции Excel: =БС(B3;B1;;-B2)

Результаты одинаковые, как и должно быть.

Как заполнить аргументы функции БС():

1. «Ставка» — процентная ставка, под которую оформлен вклад. Так как в ячейке В3 установлен процентный формат, мы в поле аргумента просто указали ссылку на эту ячейку. Если было бы указано число, то прописывали бы его сотую долю (20/100).
2. «Кпер» — число периодов для выплат процентов. В нашем примере – 4 года.
3. «Плт» — периодические выплаты. В нашем случае их нет. Поэтому поле аргумента не заполняем.
4. «Пс» — «приведенная стоимость», сумма вклада. Так как мы на время расстаемся с этими деньгами, параметр указываем со знаком «-».

Таким образом, функция БС помогла найти нам сумму функционального ряда.

В Excel есть и другие встроенные функции для нахождения разных параметров. Обычно это функции для работы с инвестиционными проектами, ценными бумагами и амортизационными платежами.

Построение графика функций суммы числового ряда

Построим график функций, отражающий рост капитала. Для этого нам нужно построить график функции являющейся суммой построенного ряда. За пример, возьмем те же данные по вкладу:

Дальше нам нужна функция для начисления сложных процентов — БС(). Мы узнаем будущею стоимость инвестиций при условии равных платежей и постоянной процентной ставке. Используя функцию БС(), заполним таблицу:

В первой строке показана накопленная сумма через год. Во второй – через два. И так далее.

Сделаем еще один столбец, в котором отразим прибыль:

Как мы считали – в строке формул.

На основании полученных данных построим график функций.

Выделим 2 диапазона: A5:A9 и C5:C9. Переходим на вкладку «Вставка» — инструмент «Диаграммы». Выбираем первый график:

Сделаем задачу еще более «прикладной». В примере мы использовали сложные проценты. Они начисляются на наращенную в предыдущем периоде сумму.

Возьмем для сравнения простые проценты. Формула простых процентов в Excel: =$B$2*(1+A6*B6)

Добавим полученные значения в график «Рост капитала».

Какие именно выводы сделает инвестор – очевидно.

Математическая формула частичной суммы функционального ряда (с простыми процентами): S_n = a (1 + x*n), где а – первоначальная сумма вклада, х – проценты, n – период.

• Excel Formula Examples
• Создать таблицу
• Форматирование
• Функции Excel
• Формулы и диапазоны
• Фильтр и сортировка
• Диаграммы и графики
• Сводные таблицы
• Печать документов
• Базы данных и XML
• Возможности Excel
• Настройки параметры
• Уроки Excel
• Макросы VBA
• Скачать примеры

Сумма ряда по шагам

Вы указываете выражение под знаком сигма, первый член, последний член или бесконечность, если нужно найти предел суммы.

• Находит частичные суммы
• Предел суммы ряда
• Исследует на признаки сходимости:
  • Расходимость
  • Абсолютная сходимость. Сходящиеся ряды
  • Условная сходимость
  • Равномерная сходимость
  • Необходимое условие сходимости
  • Признак сходимости Лейбница
  • Признак сходимости Вейерштрасса
  • Признак сходимости Абеля
  • Признак сходимости Дирихле
  • Предельный признак сравнения
  • Предельный признак сравнения
  • Телескопический признак (Признак сгущения Коши)
  • Интегральный признак Коши — Маклорена
  • Признак сравнения
  • Признак Раабе — Дюамеля
  • Функциональный ряд: С переменными x или z
    • Степенной ряд
    • Ряд Тейлора
    • Ряд Маклорена
    • Ряд Фурье
    • Тригонометрический ряд
    • Ряд Лорана
    • Сумму ряда
    • Численная сумма ряда
    • Скорость сходимости ряда
    • Радиус сходимости степенного ряда
    • Частичных сумм
    • Предела ряда

    Указанные выше примеры содержат также:

    • модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
    • квадратные корни sqrt(x),
      кубические корни cbrt(x)
    • тригонометрические функции:
      синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
    • показательные функции и экспоненты exp(x)
    • обратные тригонометрические функции:
      арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс acot(x)
    • натуральные логарифмы ln(x),
      десятичные логарифмы log(x)
    • гиперболические функции:
      гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
    • обратные гиперболические функции:
      гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x), гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x)
    • другие тригонометрические и гиперболические функции:
      секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x), арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x), гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x), гиперболический арккосеканс acsch(x)
    • функции округления:
      в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x)
    • знак числа:
      sign(x)
    • для теории вероятности:
      функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности), функция Лапласа laplace(x)
    • Факториал от x:
      x! или factorial(x)
    • Гамма-функция gamma(x)
    • Функция Ламберта LambertW(x)
    • Тригонометрические интегралы: Si(x), Ci(x), Shi(x), Chi(x)

    Правила ввода

    Можно делать следующие операции

    2*x — умножение 3/x — деление x^2 — возведение в квадрат x^3 — возведение в куб x^5 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5

    Сумма степенного ряда

    Данный урок лучше всего изучать по «горячим следам» сразу же после статьи о разложении функции в степенные ряды, поскольку сейчас мы будем решать обратную задачу. Пожалуйста, откройте таблицу разложений функций в степенные ряды и по возможности отправьте файл на печать – чтобы справочный материал был постоянно перед глазами. На бумаге, на столе и перед глазами. Это важно!

    Суть задания предельно простА: дан степенной ряд. Например:

    И по условию требуется найти сумму этого ряда, то есть, функцию, к которой он сходится. …Не понятно, что значит «ряд сходится к функции»? Срочно читаем предыдущую статью!

    Как найти сумму степенного ряда? Здесь не существует какого-то жёсткого алгоритма решения, но есть общие ориентиры, с которыми мы сегодня и познакомимся.

    В первую очередь целесообразно обратиться к таблице и попытаться выяснить – НА КАКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ больше всего похож предложенный ряд? У нашего ряда в знаменателях по порядку идут факториалы, и поэтому он больше всего напоминает разложение экспоненты: . Однако тут степени «альф» совпадают с номерами факториалов, а у нас степень «икса» «отстаёт» на единицу. Что делать? Поправим ситуацию умножением и делением ряда на «икс»:

    Теперь обращаем внимание, что наверху не хватает слагаемого-«единички». Да какие проблемы? – прибавим её да вычтем:

    Что смущает ещё? Знакочередование. Его в разложении экспоненты нет. Но в данном случае «минусы» можно «затолкать» под нечётные степени, а под чётными степенями их «возродить»:

    Таким образом, мы сконструировали разложение экспоненты для :

    Другим немаловажным вопросом является область сходимости ряда. Иными словами, ПРИ КАКИХ значениях «икс» наш ряд будет сходиться к функции ? В таблице указано, что экспоненциальный ряд сходится при любом «альфа», но у нас есть одна загвоздочка: найденная функция не определена в точке . Однако ряд в этой точке сходится! И действительно – если подставить ноль, то получается конечное число:

    Таким образом, сумма ряда запишется кусочным образом:

    Как и сумма числового ряда, она стандартно обозначается буквой «эс».

    Причём, интересно отметить, что данная сумма непрерывна. И в самом деле – используя соответствующий замечательный предел, получаем:

    Однако в точке ряд сходится всё же НЕ к функции (и похожие примеры, кстати, уже встретились в статье о разложении функции в ряд).

    Несмотря на то, что интервалы сходимости типовых рядов я указал в таблице, важно понимать, откуда они взялись. Как, например, определить область сходимости только что разобранного ряда безо всякой таблицы? Записываем его в свёрнутом виде, подобрав общий член:

    и, пользуясь обычным алгоритмом, выясняем, что ряд сходится на всей числовой прямой.

    С помощью найденной суммы легко рассчитать сумму любого числового ряда из этого «семейства». Так, например, при получаем ряд , сумма которого равна: – на всякий случай напомню, что это сумма всех его членов:

    Если , то получим ряд
    с суммой , откуда, кстати, открывается волнующая тайна:
    .

    И так далее – можно рассмотреть любое значение «икс» из области сходимости ряда.

    В статье о сумме числовых рядов мы потихонечку долбили их ломом (да и то немногие поддавались), и сейчас в наших руках оказался целый отбойный молоток! Пользуйтесь и наслаждайтесь!

    Другой пример: – найдём сумму данного степенного ряда.

    Именно в свёрнутом виде он чаще всего и предлагается, и само собой ряд удобно расписать:

    Анализируя таблицу, приходим к выводу, что наш «пациент» больше всего напоминает разложение , причём «альфа», очевидно, равно «иксу» в кубе. Выносим за скобки «минус» и «лишний» и показываем, что :

    Определим, на каком промежутке ряд сходится к функции . Интервал сходимости ряда можно найти опять же стандартным способом, либо воспользоваться табличным «подарком»:

    Сходимость ряда на концах интервала выясняем как обычно – прямой подстановкой:

    если , то – расходится;
    если , то – сходится условно.

    Таким образом, ряд сходится лишь на полуинтервале . Вне этого промежутка он расходится и его суммы, понятное дело, не существует.

    Итак: , если – в отличие от предыдущего примера, выбор «иксов» тут небогат.

    И здесь ещё хочется заострить внимание на разнице в понятиях и обозначениях:

    через обозначается функция (сама по себе),
    а через – конкретно сумма ряда (на том или ином промежутке).

    Разминочные задания для самостоятельного решения:

    Найти сумму следующих степенных рядов:

    а)
    …ну а кому сейчас легко? =)

    б)
    Дополнительно: записать числовой ряд для и вычислить его сумму.

    Краткие решения и ответы в конце урока.

    Наверное, все понимают, как выполнять проверку таких заданий – для этого нужно разложить полученную функцию обратно в ряд. Но это уже пройденное, да и к тому же простое действие, и поэтому я его расписывать не буду.

    Алгебраические преобразования рядов могут быть весьма замысловаты, однако дело не ограничиваются только ими. Как многие подозревали, производные с интегралами поджидают нас и здесь! Ну а куда ж без них? =) Пожалуйста, освежите воспоминания с помощью таблицы производных и таблицы интегралов (откроются на соседних вкладках) – их тоже по возможности распечатайте и положите перед глазами. …Есть? Поехали:

    Почленное дифференцирование и интегрирование степенного ряда

    Пусть степенной ряд сходится к своей сумме на некотором промежутке. …Теоремы формулировать не буду – проще рассказать своими словами:

    Степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой точке внутри его промежутка сходимости: , при этом интервал сходимости полученного ряда останется точно таким же, а его сумма на данном интервале будет равна: .

    И на всякий случай поясню, что значит «почленно» – если расписать ряд подробно, то согласно свойству линейности, он дифференцируется по каждому члену отдельно:

    Степенной ряд можно почленно интегрировать внутри его промежутка сходимости, но здесь ситуация занятнее. Если мы будем его интегрировать по фиксированному отрезку , то получим числовой ряд:

    – и в самом деле, членами же этого ряда являются числа (вспоминаем формулу Ньютона-Лейбница).

    Геометрический смысл и практическое применение такого интегрирования мы разберём на уроке о приближённом вычислении интеграла, ну а сейчас нас ждут другие подвиги. А именно, почленное интегрирование по отрезку с переменным верхним пределом , где «икс» может принимать произвольное значение из интервала сходимости, при этом в качестве нижнего предела удобно выбрать ноль. По той же самой формуле Ньютона-Лейбница, получается уже не числовой, а функциональный ряд – распишу подробно:

    формально здесь можно сказать, что вместо «икс» мы подставляем «икс»:

    Причём: полученный ряд обладает тем же интервалом сходимости, что и исходный ряд, а его сумму можно найти по формуле , где , напоминаю – сумма ряда

    Важнейшим условием осуществления этих действий является равномерная сходимость степенных рядов – анонсирую и рекомендую прочитать эту интереснейшую статью! Но прежде освоим технику. Начнём с тех же табличных разложений, некоторые из которых как раз получены с помощью дифференцирования и интегрирования.

    Выведем, например, разложение арктангенса. Для этого разложим его производную в стандартный ряд :

    после чего проинтегрируем этот ряд в его интервале сходимости :

    далее для краткости записи я буду дифференцировать/интегрировать ряды «один махом»:

    Поскольку «родительский» биномиальный ряд сходится на интервале , то и полученный ряд тоже будет сходиться на этом интервале. А может быть ещё и на его концах. Проверяем:

    Оба числовых ряда сходятся условно, таким образом, ряд сходится к арктангенсу в области (вспоминаем картинку из предыдущей статьи).

    По этой же схеме выводятся разложения логарифма и арксинуса – потренируйтесь самостоятельно.

    С помощью «новых» действий можно найти разложения некоторых других функций.

    Классический Пример 1

    Разложить в ряд функцию и указать его интервал сходимости.

    Решение: по «общим очертаниям» предложенная функция сильно напоминает производную от . И действительно:

    Таким образом, искомый ряд получается фактически на «автомате» – дифференцированием стандартного разложения на его интервале сходимости:

    Так как исходный ряд сходится при , то полученный ряд тоже будет сходиться на данном интервале. Осталось узнать, что происходит на концах:
    – расходится;
    – расходится.

    Ответ: , ряд сходится при

    и перебрасываем единичку направо:
    – в результате получено исходное разложение, что и требовалось проверить.

    Таким образом, всегда держите на заметке, что предложенная функция может быть производной либо интегралом от чего-нибудь табличного. Однако сегодняшний урок посвящён обратной задаче, и применительно к разобранной «классике» она формулируется так:

    Найти сумму ряда

    А вот это уже труднее – ведь мы «ещё не знаем», что данный ряд получен дифференцированием ряда , и данный факт можно запросто не увидеть. Впрочем, тут существует чёткий критерий, позволяющий «прозреть»:

    Решение: анализируя ряд , приходим к выводу, что он мало похож на что-то стандартное, но зато в таблице есть его «ближайший родственник» , к которому мы и обратимся за помощью.

    Для этого нужно «избавиться» от множителя . Каким образом? Разделить его на самого себя! И такую возможность нам предоставляет интегрирование – здесь я оформлю действия в свёрнутой форме:

    Теперь нужно «вернуть должок» дифференцированием:

    Ответ: на интервале

    Таким образом, «почленёнка» помогает нам «убрать с дороги» неудобные множители, и это действительно очень мощный инструмент:

    Найти сумму степенного ряда

    Но перед тем как решать, важная преамбула: несмотря на то, в условии этого не прописано – нам всё равно потребуется найти область сходимости ряда. Причина, думаю, понятна – ведь сумма в общем случае существует далеко не везде, и если в ответе указать только её, то это будет серьёзнейшим недочётом.

    Наверное, многие уже «набили руку» на числовых рядах и способны найти область сходимости устно. В частности, здесь хорошо видно, что предложенный ряд сходится на промежутке . Как выполнить экспресс-анализ? Берём какую-нибудь правильную дробь, например, и выполняем подстановку:
    – данный ряд сходится по признаку Даламбера. И, очевидно, что после подстановки любой дроби из интервала будут получаться похожие ряды.

    Далее тестируем произвольное «внешнее» значение, например :
    – расходится по тому же признаку Даламбера. Кстати, здесь вообще не выполнен необходимый признак сходимости, т.к. более высокого порядка роста, чем .

    Проверка концов интервала тоже осуществляется в считанные секунды:

    Таким образом, к решению задачи нужно подойти во «всеоружии» – с известной областью сходимости и записать следующую фразу: данный ряд сходится на . Как вариант, можно привести развёрнутые выкладки нахождения области – но это если вам трудно или если не лень.

    Ну а теперь амбула (с). Во-первых, не будем торопиться с «тяжёлой артиллерией» – вдруг она не потребуется? Сначала распишем ряд подробно:
    и вновь обратим свой взор на таблицу…. – наш ряд напоминает разложение арктангенса, однако ж, там знакочередование, и никакими алгебраическими «ухищрениями» эти ряды не «состыковать». Другие табличные разложения подходят к нашему случаю ещё меньше.

    Что делать? Глядя на степени «икса» и числа внизу, в голову приходит светлая мысль избавиться от последних. Дифференцируем ряд на его интервале сходимости :

    и всё дело свелось к простому табличному разложению:

    Но коль скоро мы дифференцировали, то за это придётся «заплатить» интегрированием:

    Справа в качестве суммы исходного ряда «нарисовался» «высокий» логарифм:

    Ответ: на интервале

    Обратите внимание, что в решении фигурировал ряд с суммой на том же интервале, но об этом нас никто не спрашивал.

    Сегодня я буду разбирать простые примеры, а вам предлагать интересные:))

    Найти сумму ряда

    Краткое решение и ответ в конце урока.

    Но это ещё далеко не все секреты:

    Найти сумму ряда

    Решение: данный ряд сходится в области (проанализируйте, почему).

    Как обычно расписываем ряд, чтобы поискать «лёгкий путь»:
    И после изучения таблицы и некоторых «трепыханий» мы приходим к грустному выводу, что ничего путного не получается. Очевидное дифференцирование тоже выглядит не особо перспективным:

    Но вот как бы было хорошо «избавиться» в знаменателе не от , а от . И возникает вопрос, а нельзя ли организовать такую возможность? Можно! Чтобы наверху получить ряд следует искусственно умножить и разделить на «икс». Однако этим действием мы «выключаем из игры» точку , которая входит в область сходимости. И поэтому в ней необходимо вычислить сумму ряда: , чтобы жить спокойно:

    Прерываем решение «звёздочкой» и работаем с новым «кадром»:

    – здесь всё свелось к разложению для .

    Выполняем обратное действие:

    Интеграл правой части, надо сказать, неприятный, и поэтому с ним лучше разобраться отдельно, причём без пределов интегрирования:

    и знакомый приём с дробями,… не запутаться бы тут в знаках:

    И теперь главное не забыть про «звёздочку»:

    Но это ещё не всё! Как подсказывает математическое чутьё, тонким местом исследования являются концы интервала сходимости – и действительно, полученная функция имеет проблемы не только с нулём, но ещё и на правом конце области сходимости ряда. Придётся исследовать его отдельно:
    – и к нашей радости сумма числового ряда отыскивается по стандартной схеме. Метод неопределённых коэффициентов работает в своей простейшёй ипостаси:

    Запишем частичную сумму ряда:

    Сумма исследуемого числового ряда:

    И, наконец, сумма ряда функционального:

    Ответ:

    Такой вот простенький ряд =)

    Следует отметить, что искусственный приём с домножением и делением на самом деле можно использовать и после «очевидного» дифференцирования, но там получатся более сложные вычисления.

    Вам понравилось? Но и это ещё не всё! В свете последней части задания всплывает… какой же я тонкий лирик:))

    второй способ решения: разложим числовую часть общего члена степенного ряда в сумму дробей (см. выше) и представим его в виде суммы двух рядов:

    строго говоря, здесь нужны кой-какие комментарии, но я их опущу.

    Дальнейшие действия очевидны – веник ломаем по прутикам:

    1)
    (берём на заметку значение )

    2)
    (берём на заметку значение )

    Таким образом, функция, к которой сходится ряд на промежутках :

    Точки исследуются отдельно, и что приятно, для последней уже есть готовенький числовой ряд .

    Ответ:

    На всякого мудреца довольно простоты! И никакого дифференцирования с интегрированием =)

    Кстати, не нужно думать, что этот способ является каким-то экзотическим – он используется во многих тематических заданиях, причём иной ряд можно разделить даже на 3 части.

    Обещанная интересность для самостоятельного решения:

    Найти сумму ряда

    Примерный образец чистового оформления задачи в конце урока.

    Кроме того, встречаются задачи, в которых приходится дифференцировать 2 раза подряд, что «карается» последующим двукратным интегрированием. При этом справедливо следующее…, а чего скромничать – изучим ситуацию в общем виде:

    пусть функция разложима в степенной ряд на некотором интервале:

    ну, или можно сказать, что сумма степенного ряда равна – смотря с какой стороны рассуждать.

    Как уже отмечалось, при почленном дифференцировании ряда на данном интервале получившийся ряд сойдётся к производной:

    При повторном дифференцировании на том же интервале суммой нового ряда будет вторая производная:

    И более того, если у функции существуют все производные высших порядков, то дифференцировать можно до бесконечности:

    Причём, соответствующие ряды, не нужно быть пророком, сходятся к своим производным, а интервал сходимости не меняется.

    И, разумеется, справедливы обратные выкладки с интегрированием. Но вместо них небольшой фокус – вычислим значения функции и всех её производных в точке :

    Далее выразим коэффициенты , …очевидно, что – после чего подставим их в разложение :

    В большинстве задач этого урока мы сначала дифференцировали, а затем интегрировали, но само собой допустим и обратный порядок. Так, в Примере 1* всё было наоборот – и уже из этого простого ряда яснА основная задача первоочередного интегрирования – расчистить «верхний этаж»:

    Найти сумму степенного ряда

    Решение: данный ряд сходится на интервале .

    И вновь не будем пренебрегать поиском простых путей:
    , …которых, увы, не видно.

    Очевидно, что основной нашей помехой является множитель , который надо «убрать». Попробуем проинтегрировать ряд почленно:

    Не айс,… вот если бы внизу нарисовалось – тогда да. Но это ж можно организовать – нужно только понизить изначальную степень на единицу. А делается это очень просто – «отщипываем» один «икс» и выносим его за пределы ряда:

    Далее работаем с «модифицированным» рядом:

    Приводим ситуацию в равновесие дифференцированием:

    И не забываем, что это ещё не окончательная сумма:

    Ответ: на интервале

    Заметьте, что здесь нет проблем со знаменателем, так как значение не входит в область сходимости ряда – не забываем контролировать такие моменты!

    И в заключение…, нет, пожалуй, успокоительная задача:)

    Найти сумму степенного ряда

    Моя версия решения внизу страницы.

    Наверное, у всех уже в глазах мельтешит от разложений, и поэтому самое время принять лекарство – равномерную сходимость ряда, которая по иронии судьбы и стала тому первопричиной 🙂 Кроме того, на грядущем уроке вы узнаете, как определяется сумма произвольного функционального ряда.

    Пожалуйста, сообщите, если где заметили опечатку или ошибку, потому что статья была действительно одна из самых кропотливых, и вы имели счастье, кстати, познакомиться с её 6-й версией. Всё время казалось «всё», но каждый раз всплывали… к концу статьи я превратился в толстого циника)… ещё какие-то интересные факты, примеры и нюансы. Что-то добавлялось, редактировалось, что-то «выбрасывалось». И на самом деле ещё есть о чём рассказать! Поэтому нужно пересилить себя и поставить

    Решения и ответы:

    Разминочное задание: Решение:

    а) Распишем несколько членов ряда, раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

    Оба разложения сходятся на всей числовой прямой.

    Ответ: на интервале

    б) Ориентируемся на табличное разложение :

    Найдём область сходимости ряда. Согласно таблице, ряд сходится при . В данном случае :
    – разделим все части на три:

    Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала. Для этого запишем его в свёрнутом виде и подставим граничные значения:

    Оба числовых ряда расходятся, т.к. не выполнен необходимый признак сходимости.

    Ответ: ряд сходится на интервале , сумма ряда: .
    Если , то получаем числовой ряд , сумма которого равна
    Примечание: также здесь можно использовать формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

    Пример 3: Решение: дифференцируем ряд в его интервале сходимости (на всей числовой прямой) и находим сумму полученного ряда:

    Интегрируем:

    Интеграл правой части берётся по частям:

    Ответ: на интервале

    Пример 5: Решение: данный ряд сходится в области . Ориентируясь на разложение , выполним следующие преобразования:

    Вычислим сумму ряда в точке

    Способ второй: данный ряд сходится в области . Вычислим его сумму в середине и выполним следующее преобразование:

    Дифференцируем полученный ряд:

    Примечание: использовали разложение для .
    Интегрируем:

    Таким образом:

    Пример 7: Решение: данный ряд сходится на интервале .
    Разделим его на 2 части:

    1) Найдём сумму
    Интегрируем ряд почленно:

    Дифференцируем:

    Таким образом:

    В результате итоговая сумма:

    Ответ: на интервале

    Автор: Емелин Александр

    

    (Переход на главную страницу)

    

    Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

    cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

    © Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено

    Похожие публикации:

    1. Как отключить звонки на макбуке с айфона
    2. Как послать оповещение произвольному приложению windows vbs
    3. Как удалить колонку в таблице в ворде
    4. Сколько всего чисел от 1 до 10