Как выразить икс из синуса

Пусть 0 x π имеем две точки пересечения: А и В.

Точка А попадает в интервал — π /₂ < x < π /₂ . Поэтому ее абсцисса равна arcsin а. Чтоже касается точки В, то ее абсцисса, как легко понять из рисунка, равна π — arcsin а.

Все остальные точки пересечения синусоиды у = sin х с прямой у = а мы разобьем на две группы:

Точки первой группы удалены от А на расстояния, кратные 2π, и потому имеют абсциссы arcsin a + 2nπ, где n пробегает все целые числа (n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, . ).

Точки второй группы удалены от В на расстояния, кратные 2π , и потому имеют абсциссы π — arcsin а + 2kπ = —arcsin а + (2k + 1)π, где k пробегает все целые числа (k = 0, ± 1, ±2, ±3, . ). Таким образом, уравнение (1) имеет две группы корней:

х = arcsin a + 2nπ (2) и

х = —arcsin а + (2k + 1)π. (3)

Легко понять, что обе эти группы корней можно представить одной формулой

х = (—1) m arcsin a + mπ, (4)

где т пробегает все целые числа (m = 0, ±1, ±,2, ±3, . ).

Действительно, при m четном (m = 2n) (4) обращается в (2), а при m нечетном (m = 2k + 1) — в (3).

К такому же результату можно прийти и в случае

Мы не будем подробно разбирать этот случай, предлагая учащимся сделать это самостоятельно с помощью рисунка.

Нам осталось рассмотреть случай, когда а = 0 и а = ±1.

При а = 0 уравнение sin x = а имеет корни

х = mπ, (5)

где m пробегает все целые числа (m = 0, ±1, ±2, ±3, . ). Такой же результат дает и формула (4) при а = 0. Действительно, arcsin 0 = 0 и потому

(—1) m arcsin 0 + mπ = mπ

Следовательно, формула (4) формально дает все корни уравнения (1) и в случае, когда а = 0.

Если а =1, то корнями уравнения sin x = а будут числа

х = π /₂ + 2k π, (6)

где k пробегает все целые числа (k = 0, ±1, ±2, ±3, . ).

Формула (4) охватывает и этот случай. Действительно, полагая в ней а = 1 и учитывая, что arcsin 1 = π /₂, получаем: (— 1) m arcsin 1 + mπ = (— 1) m π /₂ + mπ.

Если m четно (m = 2k), то (— 1) m arcsin 1 + mπ = π /₂ + 2kπ.

Если же m нечетно (m = 2k + 1), то (— 1) m arcsin 1 + mπ = — π /₂+ 2kπ + π = π /₂+ 2kπ.

И тот и другой случай учитываются формулой (6).

Наконец, если а = —1, то корнями уравнения sin x = а будут числа:

x = — π /₂ + 2kπ, (7)

где k пробегает все целые числа (k = 0, ±1, ±2, ±3, . . . ).

Предлагаем учащимся доказать, что при а = —1 формула (7) дает тот же результат, что и общая формула (4) .

В заключение отметим, что формулы (4), (5), (6) и (7) можно использовать лишь тогда, когда искомый угол х выражен в радианах. Если же х выражен в градусах, то эти формулы нужно естественным образом изменить. Например, вместо формулы (4) нужно использовать формулу

х = (—1) m arcsin а + 180°m,

вместо формулы (5) — формулу х = 180°m и т. д.

1) Решить уравнение

sin х = \/ 3 /₂ .

Приведем два возможных варианта записи решения.

Недопустимо в одном и том же решении частично использовать 1-й и частично 2-й варианты. Например, ответ к данному упражнению нельзя записать в виде

х = (—1) m 60° + mπ или х = (—1) m π /₃ + 180°m

2) Решить уравнение

sin ( l — 2x)= — 1 /₂

В отличие от примера 1, здесь искомые значения х нельзя выражать в градусах. В условии задачи под знаком синуса стоит выражение 1 — 2х. Наличие единицы указывает, что х — либо угол, выраженный в радианах, либо просто число. Поэтому решение данного уравнения нужно записать следующим образом:

1— 2x = (—1) m arcsin(— 1 /₂ ) + mπ = (—1) m arcsin(— π /₆ ) + mπ = (—1) m+1 arcsin( π /₆) + mπ

Отсюда x = 1 /₂ + (—1) m π /₁₂ — π /₂ m

Например, при m = 0 x = 1 /₂ + π /₁₂;

при m = 1 x = 1 /₂ — π /₁₂ — π /₂ = 1 /₂ — 7π /₁₂ и т. д.

3) Решить уравнение

sin (30° — х) = 0.

Здесь, как легко понять, под х подразумевается угол, выраженный в градусах. Поэтому решение данного уравнения нужно записать следующим образом:

30° — х = 180°m, х = 30° — 180°m.

Поскольку под m мы подразумеваем любое целое число (в том числе и отрицательное), то полученный результат можно, конечно, представить и в другой форме, а именно:

х = 30° + 180° n, где n — любое целое число.

Упражнения

Решить уравнения :

1. sin x = 1 /_{\/ 2} .

6.sin ( π /₃ — x) = \/ 3 /₂

2. sin x = — \/ 3 /₂

7. sin (60° — х) = π /₃

3. sin 2x = 0.

8. sin (2x + 1) = π /₄

4. sin x /₃ = 1.

9. sin πx = 0.

5. sin(2x + 30°) = — 1.

10*. sin x + sin 2x = 2.

Производная синуса: (sin x)′

Представлено доказательство и вывод формулы для производной синуса — sin(x). Примеры вычисления производных от sin 2x, синуса в квадрате и кубе. Вывод формулы для производной синуса n-го порядка.

Производная по переменной x от синуса x равна косинусу x:
( sin x )′ = cos x .

Доказательство

Для вывода формулы производной синуса, мы воспользуемся определением производной:
.

Чтобы найти этот предел, нам нужно преобразовать выражение таким образом, чтобы свести его к известным законам, свойствам и правилам. Для этого нам нужно знать четыре свойства.
1) Значение первого замечательного предела:
(1) ;
2) Непрерывность функции косинус:
(2) ;
3) Тригонометрические формулы. Нам понадобится следующая формула:
(3) ;
4) Арифметические свойства предела функции:
Если и , то
(4) .

Применяем эти правила к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
.
Для этого применим формулу
(3) .
В нашем случае
; . Тогда
;
;
;
.

Теперь сделаем подстановку . При , . Применим первый замечательный предел (1):
.

Сделаем такую же подстановку и используем свойство непрерывности (2):
.

Поскольку пределы, вычисленные выше, существуют, то применяем свойство (4):

.

Формула производной синуса доказана.

Примеры

Рассмотрим простые примеры нахождения производных от функций, содержащих синус. Мы найдем производные от следующих функций:
y = sin 2x , y = sin 2 x и y = sin 3 x .

Пример 1

Найти производную от sin 2x.

Сначала найдем производную от самой простой части:
( 2x )′ = 2( x )′ = 2 · 1 = 2.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Здесь .

( sin 2x )′ = 2 cos 2x.

Пример 2

Найти производную от синуса в квадрате:
y = sin 2 x .

Перепишем исходную функцию в более понятном виде:
.
Найдем производную от самой простой части:
.
Применяем формулу производной сложной функции.

.
Здесь .

Можно применить одну из формул тригонометрии. Тогда
.

Пример 3

Найти производную от синуса в кубе:
y = sin 3 x .

Производные высших порядков

Заметим, что производную от sin x первого порядка можно выразить через синус следующим образом:
.

Найдем производную второго порядка, используя формулу производной сложной функции:

.
Здесь .

Теперь мы можем заметить, что дифференцирование sin x приводит к увеличению его аргумента на . Тогда производная n-го порядка имеет вид:
(5) .

Докажем это, применяя метод математической индукции.

Мы уже проверили, что при , формула (5) справедлива.

Предположим, что формула (5) справедлива при некотором значении . Докажем, что из этого следует, что формула (5) выполняется для .

Выпишем формулу (5) при :
.
Дифференцируем это уравнение, применяя правило дифференцирования сложной функции:

.
Здесь .
Итак, мы нашли:
.
Если подставить , то эта формула примет вид (5).

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 04-03-2017

5.7. Простейшие тригонометрические уравнения

Нам будет достаточно повторить уравнения , где – константа. Ну и чуть более сложные, когда аргумент равен и т.п. В силу периодичности тригонометрических функций эти уравнения имеют бесконечно много решений, а синус с косинусом могут не иметь их вовсе. И в самом деле, уравнению или соответствует бесконечно много углов, а вот с – печаль.

С синуса и начнём: . Поскольку синус ограничен, то это уравнение имеет корни только в том случае, если .

И эти корни таковы, общая формула: , где принимает все целые значения, сокращённо будем писать: .
Так решением уравнения являются углы:

Распишем несколько штук для

Довольно часто в задачах требуется найти какой-то конкретный угол (или углы), так, если по условию угол должен быть тупым, то следует выбрать корень .

А теперь важный вопрос: откуда взялась общая формула? В школьном курсе формулы выводятся с помощью единичной окружности, но сейчас нам гораздо полезнее вспомнить графический метод решения уравнений. Строим синусоиду и прямую , например, (малиновый цвет). После чего определяем «иксовые» координаты их точек пересечения (малиновые отметки на оси ):

Это и есть корни. Осталось уловить периодичность расположения корней и сконструировать формулу. Отработаем этот принцип на важных частных случаях:

Решим графически уравнение . Из чертежа следует, что прямая пересекает синусоиду через каждые радиан, начиная от значения (выбираем самое маленькое). Таким образом, уравнение имеет корни (синие точки):
. Легко видеть, что решением уравнения является множество углов (красные точки), а решением – углы .

Все формулы справедливы не только для переменной , но и для сложного аргумента, например, (самые популярные) и других. Решим, например, уравнение . Используем только что выведенную частную формулу, только ВМЕСТО «икс» у нас «два икс»: . Но это ещё не всё, ведь нам нужно выразить «икс»: .

Разумеется, встречаются и «плохие» решения, рассмотрим уравнение . Приведём его к виду , и по общей формуле: . Этот арксинус можно вычислить лишь приближенно: и поэтому ответ лучше оставить с арксинусом.

Решим уравнение . Как и в случае с синусом, оно имеет корни, только если . Изобразим на чертеже графики функций и определим «иксовые» координаты их точек пересечения. Во-первых, обращаем внимание на самые близкие к нулю значения: (красная и синяя точки вблизи нуля):

И анализируя точки пересечения графиков, легко понять, что «красные» корни повторяются через каждые радиан: и «синие» корни тоже повторяются через этот же период: . Обе ветки решения можно объединить в общую формулу:
Решим, например, уравнение . Уловка здесь детская: избавляемся от иррациональности в знаменателе: , после чего записываем «хороший» ответ:
. Именно это случай я изобразил на схематическом чертеже выше и желающие могут ещё раз осмыслить общую формулу, используя конкретные значения углов.

И в качестве задания я предложу вам вывести три частные формулы для уравнений . Уже скоро на экранах ваших мониторов! 🙂 Разумеется, аргумент может быть сложным: . Формула та же самая: . Единственное, не забываем выразить «икс», разделив всё семейство углов на три: .

Осталось два более простых уравнения.

Уравнение имеет решения при любом значении , и ситуация здесь прозрачна, даже чертежа особо не нужно: «главная» ветка тангенса расположена на интервале , берём отсюда угол: и добавляем периоды тангенса:
– общая формула.

В качестве примера решим приятное уравнение :
Готово!

И всё же приведу чертёж для этого и двух других частных случаев:
Решением уравнения является множество углов .
Решением уравнения – множество:

Эти формулы легко получить как аналитически (по общей формуле), так и графически.

Уравнение предлагаю для самостоятельного изучения, в числе других заданий, которые уже нет сил – не могу не предложить:

Задание 10

а) Перевести из градусов в радианы или наоборот: .

б) Вычислить, не пользуясь калькулятором: .

в) Упростить:
, ; понизить степень до первой:
.

г) Графическим методом решить уравнения .

д) Вывести (аналитически или графически) общую формулу для решения уравнения и получить частные формулы для .

е) Решить аналитически: .

Решения и ответы в конце книги, и ещё будет пункт ж) (в хорошем смысле :)), который я предложу вам после изучения следующего параграфа: