А для трех уже вообще такое громоздкое получается.

Но что это дает. Общей тенденции все равно не усмотреть.

Для двух верно такое: получается
Заслуженный участник

Возвращаясь к первоначальному вопросу, а если использовать для оценки матожидания случайной величины (допустим, нормальной)среднее геометрическое, то будет ли эта оценка состоятельной, т.е. будет ли её (оценки) матожидание равняться матожиданию сл. величины?

— Вс июл 04, 2010 22:39:02 —

Интуитивно кажется, что для положительной случайной величины, эта оценка будет заниженой.

Re: Среднее арифметическое и среднее геометрическое
05.07.2010, 06:08

По мне так — среднему арифметическому можно придать какой-то смысл, например, средняя скорость, средняя температура, а вот среднему геометрическому что-то на ум сразу ничего и не приходит.

Re: Среднее арифметическое и среднее геометрическое
05.07.2010, 07:54

Заслуженный участник

мат-ламер в сообщении #337278 писал(а):

Возвращаясь к первоначальному вопросу, а если использовать для оценки матожидания случайной величины (допустим, нормальной)среднее геометрическое, то будет ли эта оценка состоятельной, т.е. будет ли её (оценки) матожидание равняться матожиданию сл. величины?

Интуитивно кажется, что для положительной случайной величины, эта оценка будет заниженой.

Вы путаете состоятельность и несмещённость.

Состоятельной оценкой будет среднее арифметическое, и в данном случае только оно, см. ЗБЧ. Причина проста: математическое ожидание никакой выпуклой (вогнутой) функции от случайной величины не равно этой функции от матожидания, за исключением тривиальных случаев типа вырожденного распределения, линейной функции и т.п. Для строго положительных с.в. (кстати, как корень из отрицательных чисел — возможных реализаций нормального распределения — извлекать будете?):

Re: Среднее арифметическое и среднее геометрическое
05.07.2010, 09:14

Заслуженный участник

А про физику вообще даже не начинайте. Там что угодно может быть. К примеру, мы определяем длину связи в двухатомной молекуле по вращательным спектрам. То есть измеряем что? — разницу энергии между линиями в спектре. Которая обратно пропорциональна моменту инерции, который, в свою очередь, зависит от длины в квадрате. То есть фактически получается среднее минус второй степени.

Re: Среднее арифметическое и среднее геометрическое
05.07.2010, 11:55

Супермодератор

В книге К. Джини «Средние величины» (1970) приведено множество различных способов выбора «среднего». А в интернете можно найти реферат «Проблема выбора средней величины». Так что вопрос о том, как считать «среднее», вообще говоря, может быть достаточно содержателен.

В принципе, в каждой задаче, где это требуется, нужно использовать то среднее, которое соответствует смыслу задачи. И этот выбор может быть различен.

Например, пусть у нас есть представительная выборка наблюдений за случайной величиной, на основе которой можно оценивать ее распределение или различные характеристики. Требуется посчитать одно число, которое могло бы выступать в качестве «экспертного предсказания» значения этой величины в будущих экспериментах. В этом случае оптимальный выбор будет различным в зависимости от того, как меряется качество этого предсказания. Если критерием является квадрат отклонения наблюдаемого значения от предсказанного, то следует выдавать математическое ожидание (т.е. в терминах выборки — среднее арифметическое, ну или другую статистическую оценку). Если же критерием является модуль отклонения, то более правильно выдавать медиану, которая тоже является вариантом среднего.

Другой пример можно составить из предыдущих сообщений. Допустим, что мы имеем дело с некоторой характеристикой, и для нее действительно среднее арифметическое — это наиболее адекватный выбор. А кто-то другой имеет дело с экспонентой от той же характеристики. По сути ничего не меняется, так как экспонента монотонна и потери информации не происходит. Но в качестве среднего тогда уже нужно брать среднее геометрическое, поскольку именно оно соответствует среднему арифметическому исходной величины.

Страница 1 из 4

[ Сообщений: 46 ]

На страницу 1 , 2 , 3 , 4 След.

CFA — Применение геометрических и арифметических средних в финансовом анализе

Используя концепции описательной статистики, рассмотрим, почему среднее геометрическое хорошо подходит для составления финансовых отчетов о прошлых результатах. Также рассмотрим, почему среднее арифметическое хорошо подходит для составления отчетов в перспективном контексте.

Применение геометрических средних для отчетов о прошлых результатах.

Для отчетности на основе исторических ставок доходности геометрическое среднее более привлекательно, чем среднее арифметическое, потому что оно представляет собой темп роста или ставку доходности, которую мы должны были бы получать каждый год, чтобы соответствовать фактическим, совокупным инвестиционным показателям.

Например, в упрощенном Примере (2) средней геометрической и арифметической доходности мы приобрели акцию за €100, при этом 2 года спустя она стоила также €100, а 1 год спустя — €200.

Среднее геометрическое значение доходности здесь — 0%. Очевидно, что оно представляет собой сложный темп роста (сложную процентную ставку) за двухлетний период. В частности, конечная сумма является начальной суммой, умноженной на \( (1 + R_G)^2 \). Среднее геометрическое является отличным показателем прошлых результатов.

Пример, упомянутый выше, иллюстрирует, как среднее арифметическое может исказить нашу оценку исторических показателей. В этом примере совокупная доходность за двухлетний период однозначно равна 0%. Но, при 100% доходности за первый год и -50% за второй, среднее арифметическое составляет 25%.

Как мы уже отмечали ранее, среднее арифметическое всегда больше или равно среднему геометрическому.

Если мы хотим оценить среднюю доходность за 1 период, мы должны использовать среднее арифметическое, потому что среднее арифметическое — это среднее значение доходности за 1 период. Однако, если мы хотим оценить среднюю доходность за более чем 1 период, нам следует использовать среднюю геометрическую доходность, поскольку среднее геометрическое отражает то, как ставки доходности за период образуют совокупную доходность за несколько периодов.

Как следствие использования геометрического среднего для отчетов о доходности, полулогарифмические (англ. ‘semilogarithmic scale’), а не арифметические шкалы измерений более подходят для построения графиков прошлых результатов. В контексте отчетности об инвестиционных результатах полулогарифмический график имеет арифметическую шкалу на горизонтальной оси для времени и логарифмическую шкалу на вертикальной оси для стоимости инвестиций.

Значения на вертикальной оси отмечены в соответствии с различиями между их логарифмами.

Предположим, мы хотим представить £1, £10, £100 и £1,000 в качестве стоимости инвестиций на вертикальной оси.

Обратите внимание, что каждое последующее значение представляет 10-кратное увеличение по сравнению с предыдущим значением, и каждое из них будет равномерно отмечено на вертикальной оси, поскольку разница в их логарифмах составляет примерно 2.30. То есть:

\(\ln10 — \ln1 = \ln100 — \ln10 = \ln1,000 — \ln100 = 2.30 \)

В полулогарифмическом масштабе равные деления на вертикальной оси отражают одинаковые процентные изменения, а рост инвестиций с постоянной процентной ставкой представляет на графике прямую линию.

Кривая, изгибающаяся вверх, отражает увеличение темпов роста с течением времени.

Изгибы кривой в разных точках можно сравнивать, чтобы судить об относительных темпах роста.

Применение арифметических средних для финансовых прогнозов.

В дополнение к отчетам о прошлых результатах финансовым аналитикам необходимо прогнозировать ожидаемые премии за риск по акциям. Для этой цели лучше подходит среднее арифметическое.

Мы можем проиллюстрировать использование среднего арифметического в перспективном контексте на примере, основанном на будущих денежных потоках инвестиций. При дисконтировании будущих денежных потоков, существенная проблема связана с неопределенностью.

Предположим, что инвестор, распоряжающийся $100,000 сталкивается с равной вероятностью (50/50) 100-процентной или -50-процентной доходности, как показано на древовидной диаграмме. При 100-процентной доходности в одном периоде и -50-процентном доходе в другом, среднее геометрическое доходности составляет:

Средняя геометрическая доходность 0% дает моду или медиану дохода после двух периодов (т.е. конечный доход или доход на конец рассматриваемого периода) и, таким образом, точно предсказывает модальный или медианный конечный доход в этом примере.

Тем не менее, среднее арифметическое лучше предсказывает конечный доход. При равных шансах доходности 100% или -50% рассмотрим 4 одинаково вероятных результата в $400,000, $100,000, $100,000 и $25,000, как если бы они действительно имели место.

Средний арифметический конечный доход составил бы:

$156,250 = ($400,000 + $100,000 + $100,000 + $25,000) / 4.

Фактическая доходность составила бы 300%, 0%, 0% и -75% при средней арифметической доходности за 2 периода:

(300 + 0 + 0 -75) / 4 = 56.25%.

Это средняя арифметическая доходность предсказывает конечный доход в размере $100,000 \( \times \) 1.5625 = $156,250. Отметив, что 56.25% для двух периодов составляют 25% за период, мы должны затем дисконтировать ожидаемый конечный доход в размере $156,250 по средней арифметической ставке 25%, чтобы отразить неопределенность в денежных потоках.

• Неопределенность в денежных потоках или доходности приводит к тому, что среднее арифметическое будет больше среднего геометрического.
• Чем более неопределенны доходы, тем больше расхождение между средними арифметическими и геометрическими значениями.
• Средняя геометрическая доходность приблизительно равна средней арифметической доходности за вычетом половина дисперсии доходности.

Нулевая дисперсия или нулевая неопределенность в доходах оставляют геометрическую и арифметическую доходность примерно равными, но в условиях реальной неопределенности среднеарифметическая доходность больше, чем среднегеометрическая.

Например, для номинальной годовой доходности S&P 500 с 1926 по 2012 год в Таблице 27 приведено среднее арифметическое значение 11.82% и стандартное отклонение 20.18%.

Среднее геометрическое значение этих ставок доходности составляет 9.84%. Мы можем видеть, что среднее геометрическое приблизительно равно среднему арифметическому за вычетом половины дисперсии доходности:

\( R_G \approx 0.1182 — (1/2) (0.2018^2) = 0.0978 \) или 9.78%.

math_in_school

Поскольку эти понятия используются очень часто, имеет смысл немного о них поговорить. Среднее арифметическое возникает, когда делят поровну. Тут всё понятно – как говорил Шариков – сложить и поделить. Sa =( a + b )/2 .
А что такое среднее геометрическое для a и b ? Это такой отрезок, который будет стороной квадрата, равного по площади прямоугольнику со сторонами a и b . Понятно, что он между a и b . Sg = √ ( ab) — корень квадратный из произведения.
Сравним Sa V Sg при одних и тех же a и b (для положительных, разумеется ) V – знак сравнения. Его можно заменить на > или < , преобразовав неравенство в такое, которое будет выглядеть очевидным. Понятно, что следует выполнять правила операций с частями неравенства – переносить , добавлять равное или умножать на положительное число.
(a+b)/2 V √ (ab) ; a + b — 2 √ (ab ) V 0 ; a + b — 2 √ a √ b V 0 ;
Левая часть неравенства – полный квадрат a + b — 2 √ a √ b = ( √ a — √ b ) ² >= 0 Следовательно, знак V в неравенстве Sa V Sg мы имеем право заменить на >= .
Sa >= Sg Среднее арифметическое двух положительных чисел a и b всегда больше или равно их среднему геометрическому, причём равенство достигается при a = b .
Этот факт имеет очень простую и красивую геометрическую интерпретацию. Пусть a + b будут диаметром окружности. Тогда перпендикуляр к диаметру из точки соприкосновения отрезков a и b до пересечения с окружностью даст среднее геометрическое. А радиус – среднее арифметическое. Предлагаю доказать это в качестве упражнения.

А что будет, если чисел не два, а больше? Будет то же самое, но называться станет сложно и страшно – неравенством Коши-Буняковского. Докажем его как-нибудь в другой раз, после того, как разберёмся, что такое математическая индукция.

П.С. Выполняя пожелание old_greeb , рассмотрим ещё одно среднее — гармоническое Sh=2ab/(a+b) Это величина является,например, решением задачи о средней скорости, которой часто морочат головы изучающим физику — заставляя пользоваться точным определением средней скорости, а не интуитивными понятиями. Пусть первую половину пути объект двигался со скоростью а, вторую половину — со скоростью b. Какова средняя скорость? Интуитивный ответ (a+b)/2, очевидно, неверен. Правильное решение по определению скорости, как отношения пути ко времени, даёт V=S/(S/2a +S/2b) = 2ab/(a+b)

Сравним среднее гармоническое и среднее геометрическое. 2ab/(a+b) V √ (ab) или √( ab)/((a+b)/2) V 1 В числителе — среднее геометрическое, которое меньше среднего арифметического в знаменателе 2ab/(a+b) √ (ab)

Похожие публикации:

1. Внешний жесткий диск упал и не определяется компьютером как восстановить
2. Как достать фото из icloud на айфон
3. Как создать новый эпл айди на айпаде
4. Почему вк не открывает файлы