Через сколько точек можно провести окружность и только одну

В треугольник можно вписать окружность

Вписанная в треугольник окружность — это такая окружность, которая касается всех сторон треугольника. То есть стороны треугольника являются касательными к окружности.

Существует теорема о том, что в каждый треугольник можно вписать окружность и притом только одну. Доказательство данной теоремы сводится к нижеследующему.

Как известно, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Перпендикуляры, проведенные из этой точки к сторонам треугольника, равны. (Это следует из равенства треугольников, образованных биссектрисой и двумя перпендикулярами.)

Получается, что на трех сторонах треугольника есть по точке, удаленной от точки пересечения биссектрис, на одно и то же расстояние.

С другой стороны, все радиусы одной окружности равны. Следовательно, через точку пересечения биссектрис треугольника можно провести окружность радиусом, равным отрезку, который перпендикулярен каждой из сторон.

Стороны треугольника окажутся касательными к такой окружности, т. к. перпендикулярны радиусу, проведенному в точку касания.

Однако действительно ли только одну окружность можно вписать в треугольник? Если в треугольник можно вписать еще одну окружность, то ее центр также должен быть равноудален от каждой из сторон. Но единственная точка внутри треугольника, которая находится на одинаковом расстоянии от всех сторон — это точка пересечения биссектрис. Конечно, через эту точку можно провести множество окружностей с разными радиусами. Однако сторон коснется только окружность с радиусом равным перпендикуляру к сторонам. А такая окружность уже была вписана. Поэтому в треугольник можно вписать только одну окружность.

Касание к окружности

В жизни мы ежедневно сталкиваемся с касаниями. Касаемся предметов или друг друга. А может ли окружность, подобно человеку, чего-то касаться? Давайте узнаем в этой статье.

Взаимное расположение прямой и окружности

Перед нами стоит задача начертить прямую и окружность на бумаге. Задумайтесь на секунду: как бы вы сейчас выполнили эту задачу?

Поскольку их взаимное расположение не уточнено, то есть несколько вариантов, как их начертить.

1 случай. Прямая и окружность будут лежать в разных местах на листе и никак не пересекутся друг с другом.

2 случай. Прямая будет только касаться окружности.

3 случай. Прямая пересечет окружность.

Оказывается, в математике существуют термины для второго и третьего случая. Начнем их рассматривать с касательной к окружности.

Касательная

Касательная – это прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку.

На рисунке АВ – касательная, которая касается окружности в точке А.

Многие вещи, которые нас окружают, имеют плавные формы. Например, если мы посмотрим на цепь велосипеда, она имеет изогнутую форму.

Свойства касательной

1 свойство. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному из центра окружности в точку касания.

Проведем радиус ОА, тогда ОА ⟂ АВ.

2 свойство. Если провести две касательных из одной точки, то их отрезки будут равны.

Проведем из точки В еще одну касательную ВС, тогда АВ = ВС.

Если перевернуть рисунок, то можно заметить, что он отдаленно напоминает воздушный шар. А в воздушных шарах, также как и в свойстве касательных, используются равные по длине веревки.

3 свойство. Угол между хордой и касательной равен половине дуги, которая заключена между этими касательной и хордой.

Проведем хорду АС, тогда угол САВ равен \(\frac⋃АС\).

Секущая

Теперь обратим внимание на третий случай, когда прямая пересекает окружность. Такая прямая называется секущей.

Секущая – это прямая, которая пересекает окружность в двух точках.

Пусть на рисунке АВ – секущая, тогда точки А и В – точки пересечения окружности и секущей.

Вспомни, как мы нарезаем пиццу или пирог. Каждый разрез будет секущей, то есть будет разделять круг на несколько частей.

Свойства секущей

1 свойство. Если из одной точки провести секущую и касательную к окружности, то квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Проведем из точки А касательную АВ и секущую АС. Пусть секущая будет пересекать окружность в точках С и Е. Тогда выполняется равенство АВ 2 = АС * АЕ.

2 свойство. Если из одной точки провести две секущих к окружности, то произведение первой секущей на ее внешнюю часть равняется произведению второй секущей на ее внешнюю часть.

Проведем секущие АВ (пересекает окружность в точках Е и В) и АС (пересекает окружность в точках С и D). Тогда выполняется равенство АС * AD = АВ * АЕ.

3 свойство. Угол между двумя секущими равен половине разности градусных мер большей и меньшей дуг, которые заключены между секущими.

Допустим, необходимо найти угол САВ. Тогда угол \(CAB = \frac(⋃CB-⋃DE)\).

Не стоит пугаться знака “⋃” – в математике таким образом обозначают дугу окружности.

Касание окружностей

Мы рассмотрели касание прямой и окружности, но могут ли две окружности касаться друг друга? Если у окружностей одна общая точка, то они являются касающимися друг к другу.

И есть даже несколько вариантов такого касания:

• Внешнее, когда окружности лежат по разные стороны от точки касания.

В данном случае точка С – точка касания.

• Внутреннее, когда одна окружность как бы “лежит” в другой.

В данном случае точка С также является точкой касания.

Касание окружностей нередко применяется при создании ювелирных украшений. Такое решение создает неповторимые и очень красивые образы.

Как мы уже определили, окружности могут касаться друг друга. Но есть еще один вариант их взаимного расположения: окружности пересекаются друг с другом. В этом случае они будут иметь две общие точки.

Рассмотрим свойство касающихся окружностей:

• Прямая, построенная через центры таких окружностей, включает точку касания.

Если мы построим прямую через центры окружностей А и В, то на этой же прямой будет лежать точка касания С.

Фактчек

• Прямая и окружность имеют три варианта взаимного расположения: не пересекаться, касаться или пересекать друг друга.
• Касательная – это прямая, которая проведена к окружности и имеет с ней только одну общую точку. Касательная перпендикулярна радиусу, который проведен в точку касания.
• Секущая – это прямая, которая проходит через окружность и имеет с ней две точки пересечения.
• Если провести из одной точки касательную и секущую, то квадрат касательной будет равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
• Две окружности также могут касаться друг друга. Касание может быть как внешним, так и внутренним. При этом если соединить центры окружности прямой, то на этой же прямой будет лежать точка касания.

Проверь себя

Задание 1.
Как называется прямая, которая проведена к окружности и имеет с ней одну общую точку?

1. Секущая;
2. Хорда;
3. Касательная;
4. Диаметр.

Задание 2.
Дуга, заключенная между касательной и хордой, равняется 50 \(\circ\) . Чему равен угол между касательной и хордой?

1. 25 \(\circ\) ;
2. 50 \(\circ\) ;
3. 100 \(\circ\) ;
4. 180\ (\circ\) .

Задание 3.
Длина секущей равна 9, а ее внешняя часть равняется 4. Чему равна касательная к окружности, проведенная из той же точки, что и секущая?

Задание 4.
Между секущими заключены дуги окружности, которые равняются 70 и 30 градусам. Чему равен угол между секущими?

Задание 5.
Каким бывает касание двух окружностей?

1. Только внешним;
2. Только внутренним;
3. Внешним и внутренним;
4. Две окружности не могут касаться друг друга.

Ответы: 1. – 3 2. – 1 3. – 2 4. – 4 5. – 3

Повторение 3 Окружность.

Повторение. Окружность Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какойлибо точкой окружности, — радиусом. Показать больше

Повторение. Окружность Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какойлибо точкой окружности, — радиусом окружности. Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом. Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой. Касательная к окружности Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. Свойства касательной 1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. 2. Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. Хорда Спрятать

• Похожие публикации
• Поделиться
• Код вставки
• Добавить в избранное
• Комментарии

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

ТЕОРЕМА 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

ТЕОРЕМА 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Докажем теорему 2 методом «от противного».

С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию.

Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника, а p – полупериметр, т.е.

Теорема Птолемея

ТЕОРЕМА ПТОЛЕМЕЯ . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Докажем, что справедливо равенство:

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

откуда вытекает равенство:

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

откуда вытекает равенство:

Складывая равенства (1) и (2), получаем:

Теорема Птолемея доказана.

Справочник по математике для школьников

• Арифметика
• Алгебра
• Тригонометрия
• Геометрия (планиметрия)
• Геометрия (стереометрия)
• Элементы математического анализа
• Вероятность и статистика

Геометрия (планиметрия)

• Основные фигуры планиметрии
  • Фигуры, составляющие основу планиметрии
  • Углы на плоскости
  • Теорема Фалеса
  • Углы, связанные с окружностью
  • Признаки параллельности прямых
  • Типы треугольников. Признаки равенства треугольников
  • Свойства и признаки равнобедренного треугольника
  • Свойства и признаки прямоугольного треугольника
  • Свойства сторон и углов треугольника
  • Подобие треугольников
  • Теорема Пифагора. Теорема косинусов
  • Биссектриса треугольника
  • Медиана треугольника
  • Высота треугольника. Задача Фаньяно
  • Средние линии треугольника
  • Теорема Чевы
  • Теорема Менелая
  • Описанная окружность. Теорема синусов
  • Формулы для стороны, периметра и площади правильного треугольника
  • Площадь треугольника
  • Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  • Вневписанные окружности
  • Четырехугольники
  • Параллелограммы
  • Трапеции
  • Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
  • Описанные четырехугольники
  • Площади четырехугольников
  • Многоугольники
  • Правильные многоугольники
  • Углы, связанные с окружностью
  • Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
  • Две окружности на плоскости. Общие касательные к двум окружностям
  • Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг
  • Окружность, описанная около треугольника. Теорема синусов
  • Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  • Вневписанные окружности
  • Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
  • Описанные четырехугольники
  • Площади четырехугольников
  • Площадь треугольника
  • Вывод формул Герона и Брахмагупты
  • Средние линии
  • Геометрические места точек на плоскости
  • Движения плоскости. Теорема Шаля. Аффинные преобразования плоскости

  Учебные пособия для школьников

  • Задачи на проценты
  • Квадратный трехчлен
  • Метод координат на плоскости
  • Прогрессии
  • Решение алгебраических уравнений
  • Решение иррациональных неравенств
  • Решение логарифмических неравенств
  • Решение логарифмических уравнений
  • Решение показательных неравенств
  • Решение показательных уравнений
  • Решение рациональных неравенств
  • Решение тригонометрических уравнений
  • Степень с рациональным показателем
  • Системы уравнений
  • Тригонометрия в ЕГЭ по математике
  • Уравнения и неравенства с модулями
  • Фигуры на координатной плоскости, заданные неравенствами

  Демоверсии ЕГЭ

  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по английскому языку
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по биологии
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по географии
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по информатике
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по испанскому языку
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по истории
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по китайскому языку
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по литературе
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по математике
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по немецкому языку
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по обществознанию
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по русскому языку
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по физике
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по французскому языку
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по химии
  • Итоговое сочинение (изложение) в 11 классе

  Демоверсии ОГЭ

  • Демонстрационные варианты ОГЭ по английскому языку
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по биологии
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по географии
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по информатике
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по испанскому языку
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по истории
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по литературе
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по математике
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по немецкому языку
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по обществознанию
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по русскому языку
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по физике
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по французскому языку
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по химии
  • Итоговое собеседование по русскому языку в 9 классе
  Похожие публикации:

  1. Как оценивается погрешность по графику
  2. Как ускорить работу power query
  3. Не уменьшать ttl zyxel keenetic что это
  4. Определите что будет выведено на экран