Как разложить на линейные множители

2. Разложение квадратного трёхчлена на множители

Наиболее значимым является то, что с её помощью синтезируют формулу разложения квадратного трёхчлена на множители. Эта формула в дальнейшем нам очень пригодится.

Если x 1 и x 2 — корни квадратного трёхчлена a x 2 + bx + c , то справедливо равенство a x 2 + bx + c = a x − x 1 x − x 2 .

Доказательство.
Имеем a x 2 + bx + c = a ⋅ x 2 + bx a + c a .
По теореме Виета x 1 + x 2 = − b a , x 1 ⋅ x 2 = c a .

a ⋅ x 2 + bx a + c a = a x 2 − x 1 + x 2 x + x 1 x 2 = a x 2 − x 1 x − x 2 x + x 1 x 2 = = a x x − x 1 − x 2 x − x 1 = a x − x 1 x − x 2 .

Если квадратный трёхчлен имеет корни, то его можно разложить на линейные множители. И наоборот, если разложение существует, то у квадратного трёхчлена есть корни.

Если x 1 = x 2 , то равенство имеет вид a x 2 + bx + c = a x − x 1 2 .
При отсутствии корней квадратного трёхчлена, разложение его на линейные множители невозможно.

Если числа x 1 , x 2 таковы, что x 1 + x 2 = − p ; x 1 ⋅ x 2 = q , то эти числа — корни уравнения x 2 + px + q = 0 .

Как разложить на линейные множители

КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН III

§ 54. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители

В этом параграфе мы рассмотрим следующий вопрос: в каком случае квадратный трехчлен ax 2 + bx + c можно представить в виде произведения

(a₁x + b₁) (a₂x + b₂)

двух линейных относительно х множителей с действительными коэффициентами a₁, b₁, a₂, b₂ (a₁ =/=0, a₂ =/=0) ?

1. Предположим, что данный квадратный трехчлен ax 2 + bx + c представим в виде

ax 2 + bx + c = (a₁x + b₁) (a₂x + b₂). (1)

Правая часть формулы (1) обращается в нуль при х = — b₁/ a₁ и х = — b₂/ a₂ (a₁и a₂ по условию не равны нулю). Но в таком случае числа — b₁/ a₁ и — b₂/ a₂ являются корнями уравнения

ax 2 + bx + c = 0.

Следовательно, дискриминант квадратного трехчлена ax 2 + bx + c должен быть неотрицательным.

2. Обратно, предположим, что дискриминант D = b 2 — 4ас квадратного трехчлена ax 2 + bx + c неотрицателен. Тогда этот трехчлен имеет действительные корни x₁ и x₂. Используя теорему Виета, получаем:

ax 2 + bx + c = а (x 2 + b /_a х + c /_a) = а [x 2 — (x₁ + x₂) х + x₁x₂] =

= а [(x 2 — x₁x ) — (x₂x — x₁x₂)] = а [х (х — x₁) — x₂(х — x₁) =

= a(х — x₁)(х — x₂).

ax 2 + bx + c = a(х — x₁)(х — x₂), (2)

где x₁ и x₂ — корни трехчлена ax 2 + bx + c. Коэффициент а можно отнести к любому из двух линейных множителей, например,

a(х — x₁)(х — x₂) = (aх — ax₁)(х — x₂).

Но это означает, что в рассматриваемом случае квадратный трехчлен ax 2 + bx + c представим в виде произведения двух линейных множителей с действительными коэффициентами.

Объединяя результаты, полученные в пунктах 1 и 2, мы приходим к следующей теореме.

Теорема. Квадратный трехчлен ax 2 + bx + c тогда и тoлько тогда можно представить в виде произведения двух линейных множителей с действительными коэффициентами,

ax 2 + bx + c = (aх — ax₁)(х — x₂),

когда дискриминант этого квадратного трехчлена неотрицателен (то есть когда этот трехчлен имеет действительные корни).

Пример 1. Разложить на линейные множители 6x 2 — х —1.

Корни этого квадратного трехчлена равны x₁ = 1 /₂ и x₂ = — 1 /₃.

Поэтому по формуле (2)

6x 2 — х —1 = 6 (х — 1 /₂)(х + 1 /₃) = (2х — 1) (3x + 1).

Пример 2. Разложить на линейные множители x 2 + х + 1. Дискриминант этого квадратного трехчлена отрицателен:

D = 1 2 — 4•1•1 = — 3 < 0.

Поэтому данный квадратный трехчлен на линейные множители с действительными коэффициентами не раскладывается.

Упражнения

Разложить на линейные множители следующие выражения (№ 403 — 406):

403. 6x 2 — 7х + 2. 405. x 2 — х + 1.

404. 2x 2 — 7ах + 6а 2 . 406. x 2 — 3ах + 2а 2 — аb— b 2 .

Сократить дроби (№ 407, 408):

Линейные множители. Как определить, возможно разложение квадратного трехчлена на них или нет?

Если у кв. трехчлена есть корни, значит разложить можно) То бишь дескриминант больше или равен нуля.

Это означает, что возможно разложить квадратный трехчлен на произведение двух линейный. Приравняй трехчлен к 0,т. е. получится квадратное уравнение. Найди дискриминант, если Д>0 или равен (при равенстве линейные множители будут одинаковые), значит существуют корни уравнения. Значит возможно разложение.

Это возможно, если соответствующее квадратное уравнение будет иметь действительные корни. Узнать это в свою очередь можно, решая соответствующее квадратное уравнение или графически построить график этого квадратного трехчлена. Если кривая (парабола) пересечет ось Х в двух точках, значить разложить можно.

Похожие вопросы

Разложение на линейные множители некоторых квадратных трехчленов

Прежде всего укажем на некоторые употребительные названия. Станем рассматривать многочлены, в состав которых входит лишь одна какая-нибудь буква, напр., буква x . Тогда самым простым является многочлен, в котором два члена, причем в одном из них имеется буква x в первой степени, а в другом вовсе буквы x не имеется, напр., 3x – 5 или 15 – 7x или 8z + 7 (здесь уже вместо буквы x взята буква z ) и т. д. Такие многочлены называются линейными двучленами .

Далее, усложняя дело, составим многочлен из трех членов: в одном буква x пусть входит во второй степени, в другом – в первой, а третий член вовсе этой буквы не содержит, напр.:

3x² – 5x + 7 или x² + 2x – 1
или 5y² + 7y + 8 или z² – 5z – 2 и т. д.

Такие многочлены называются квадратными трехчленами .

Затем, мы можем составить кубический четырехчлен, напр.:

x³ + 2x² – x + 1 или 3x³ – 5x² – 2x – 3 и т. д.,

многочлен четвертой степени, напр.:

x 4 – 2x³ – 3x² + 4x – 5 и т. д.

Возможно обозначать коэффициенты при x , при x², при x³ и т. д. также буквами, напр., буквами a, b, c и т. д. Тогда получим:

1) общий вид линейного относительно x двучлена ax + b,

2) общий вид квадратного трехчлена (относительно x ): ax² + bx + c,

3) общий вид кубического трехчлена (относительно x ): ax³ + bx² + cx + d и т. д.

Заменяя в этих формулах буквы a, b, c, d … различными числами, получим всевозможные линейные двучлены, квадратные трехчлены и т. д. Напр., в формуле ax² + bx + c, выражающей общий вид квадратного трехчлена, заменим букву a числом +3, букву b числом –2 и букву c числом –1, получим квадратный трехчлен 3x² – 2x – 1. В частном случае возможно получить и двучлен, заменяя одну из букв нулем, напр., если a = +1, b = 0 и c = –3, то получим квадратный двучлен x² – 3.

Можно научиться раскладывать некоторые квадратные трехчлены довольно быстро на линейные множители. Ограничимся, однако, рассмотрением только таких квадратных трехчленов, которые удовлетворяют следующим условиям:

1) коэффициентом при старшем члене (при x²) служит +1,

2) можно подыскать такие два целых числа (со знаками, или два относительных целых числа), чтобы их сумма равнялась коэффициенту при x в первой степени и их произведение равнялось члену, свободному от x (где буквы x вовсе нет).

Примеры. 1. x² + 5x + 6; легко в уме подыскать два числа (со знаками), чтобы их сумма равнялась +5 (коэффициенту при x ) и чтобы их произведение = +6 (члену, свободному от x), – эти числа суть: +2 и +3 [в самом деле, +2 + 3 = +5 и (+2) ∙ (+3) = +6]. При помощи этих двух чисел заменим член +5x двумя членами, а именно: +2x + 3x (конечно, +2x + 3x = +5x); тогда наш техчлен искусственно будет обращен в четырехчлен x² + 2x + 3x + 6. Применим теперь к нему прием группировки, относя первые два члена в одну группу и последние два – в другую:

x² + 5x + 6 = x² + 2x + 3x + 6 = x (x + 2) + 3 (x + 2) = (x + 2) (x + 3).

В первой группе мы вынесли за скобку x и во второй +3, получили два члена, у которых оказался общий множитель (x + 2), который также вынесли за скобку, и наш трехчлен x² + 5x + 6 разложился на 2 линейных множителя: x + 2 и x + 3.

2. x² – x – 12. Здесь надо подыскать два числа (относительных), чтобы их сумма равнялась –1 и чтобы их произведение равнялось –12. Такие числа суть: –4 и +3.

Проверка: –4 + 3 = –1; (–4) (+3) = –12. При помощи этих чисел заменим член –x двумя членами: –x = –4x + 3x, – получим:

x² – x – 12 = x² – 4x + 3x – 12 = x (x – 4) + 3 (x – 4) = (x – 4) (x + 3).

3. x² – 7x + 6; здесь нужные числа суть: –6 и –1. [Проверка: –6 + (–1) = –7; (–6) (–1) = +6].

x² – 7x + 6 = x² – 6x – x + 6 = x (x – 6) – (x – 6) = (x – 6) (x – 1).

Здесь члены второй группы –x + 6 пришлось заключить в скобки, со знаком минус перед ними.

4. x² + 8x – 48. Здесь нужно подыскать два числа, чтобы их сумма равнялась +8 и чтобы их произведение равнялось –48. Так как произведение должно иметь знак минус, то искомые числа должны быть с разными знаками, так как сумма наших чисел имеет знак +, то абсолютная величина положительного числа должна быть больше. Раскладывая арифметическое число 48 на два множителя (а это можно сделать по-разному), получим: 48 = 1 ∙ 48 = 2 ∙ 24 = 3 ∙ 16 = 4 ∙ 12 = 6 ∙ 8. Из этих разложений легко выбрать подходящее к нашим требованиям, а именно: 48 = 4 ∙ 12. Тогда наши числа суть: +12 и –4. Дальнейшее просто:

x² + 8x – 48 = x² + 12x – 4x – 48 = x (x + 12) – 4 (x + 12) = (x + 12) (x – 4).

5. x² + 7x – 12. Здесь надо найти 2 числа, чтобы их сумма равнялась +7 и произведение = –12; 12 = 1 ∙ 12 = 2 ∙ 6 = 3 ∙ 4. По-видимому, подходящими числами являлись бы 3 и 4, но их надо взять с разными знаками, чтобы их произведение равнялось –12, а тогда их сумма ни в коем случае не может равняться +7 [–3 + (+4) = +1, +3 + (–4) = –1]. Другие разложения на множители также не дают требуемых чисел; поэтому мы приходим к заключению, что данных квадратных трехчлен мы еще не умеем разложить на линейные множители, так как к нему наш прием не применим (он не удовлетворяет второму из условий, какие были установлены вначале).