Как найти угол между вектором и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью

Вывод формулы для вычисления угла между прямой и плоскостью

Из уравнения прямой можно найти направляющий вектор прямой

Из уравнения плоскости вектор нормали плоскости имеет вид

Из формул скалярного произведения векторов найдем косинус угла между нормалью к плоскости и направляющим вектором прямой

cos ψ =	| q · s |
	| s | · | q |

Так как φ = 90° — ψ , то синус угла между прямой и плоскостью sin φ = cos ψ .

Расписав скалярное произведение векторов и модуль векторов через их координаты, получим формулу для вычисления угла между прямой и плоскостью.

Пример вычисления угла между прямой и плоскостью

Найти угол между прямой

x — 4	=	y + 2	= —	z — 6
2		6		3

и плоскостью x — 2 y + 3 z + 4 = 0.

Из уравнения прямой найдем направляющий вектор прямой

Из уравнения плоскости найдем вектор нормали плоскости

Воспользовавшись формулой, найдем угол между прямой и плоскостью

sin φ =	| 2 · 1 + 6 · (-2) + (-3) · 3 |	=
	√ 2 2 + 6 2 + (-3) 2 · √ 1 2 + (-2) 2 + 3 2

= | 2 — 12 — 9 | √ 4 + 36 + 9 · √ 1 + 4 + 9 = |-19| √ 49 · √ 14 = 19 7√ 14

Ответ: sin φ = 19 7√ 14 .

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Присоединяйтесь
© 2011-2024 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

Угол между прямой и плоскостью

Основное определение: «Угол, возникающий между перпендикулярными отрезками, опущенными в пределах этих плоскостей к линии пересечения и является углом между плоскостями».

Чтобы построить проекцию прямой на плоскость, достаточно опустить из любых двух ее точек перпендикуляры на плоскость (спроектировать эти точки), после чего провести через них прямую – это и будет проекция.

Виды углов между плоскостью

Плоскость и прямая имеют одну точку пересечения (общую).

В данном примере угол между прямой и плоскостью нам не известен. Прямая также может проходить через плоскость перпендикулярно (90 градусов)

Прямая перпендикулярна плоскости, а также всем остальным прямым, расположенным на данной плоскости.

Точка перпендикулярного пересечения прямой М1 и плоскости γ под является одновременно и проекцией точки М, при условии, что она не принадлежит плоскости γ.

Проекция прямой на плоскость обозначает множество проекция данной прямой на плоскость.

Это означает, что прямая, перпендикулярная к плоскости имеет с ней общую точку пересечения, из чего следует то, что a – принадлежит плоскости и проходящей через точку пересечения прямой плоскости.

Углом между прямой и плоскостью является угол между данной прямой и ее проекцией на заданную плоскость.

Прямая необязательно перпендикулярна плоскости. Из этого обозначения следует, что угол между прямой и плоскостью всегда является острым (90>x).

Угол между прямой и плоскостью всегда равен 90 градусам, в то время как угол между параллельно расположенными прямыми определять не требуется. В некоторых заданиях, его значение просто приравнивается нулю, это указывают внутри задания.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Нужна помощь

Как найти угол между прямой и плоскостью

Способов решения задач на нахождения угла между плоскостью и заданной прямой, бесчисленное множество. Путь, которым необходимо решить задачу, выбирается исходя из указанных в условиях задачи данных. Зачастую, рельсами решения задач такого типа являются тангенсы, косинусы, синусы углов, а также признаки подобия/равенства фигур. Далее будет рассмотрен метод решения с применением сетки координат.

Геометрический метод. При геометрическом методе нужно найти какую-нибудь удобную точку на прямой, опустить перпендикуляр на плоскость, выяснить, что из себя представляет проекция, а потом решать планиметрическую задачу по поиску угла (φ) в треугольнике (зачастую прямоугольном).

Решение задачи геометрическим методом. Поскольку в правильной пирамиде высота опускается в центр основания O, то OE – это проекция SE, а точка M проецируется в точку K – середину отрезка OE.

И теперь FK – это проекция FM, а искомый угол между прямой FM и плоскостью основания – это ∠MFK.

Ищем этот угол. Пусть стороны основания равны какому – то a, тогда боковые рёбра – 3a. Заметь, что ΔMFK – прямоугольный и в этом треугольнике нам нужно найти острый угол.

Алгебраический метод. При алгебраическом методе вводится система координат, определяются координаты двух точек на прямой и уравнение плоскости, а затем применяется формула вычисления угла между прямой и плоскостью.

Здесь \[\left(x_, y_, z_\right),\left(x_, y_, z_\right)\] — координаты двух точек на прямой, A, B, C- координаты в уравнении плоскости: \[ A x+B y+C z+D=0 \].

В 3D используется система координат, состоящая из трех направлений – Охуz.
В ней задается прямая, которая пересекается с заданной плоскостью в точке М. В данном примере требуется найти угол а, который находится между прямой и плоскостью.

Для нахождения угла а, возьмем уравнение прямой и вектор прямой пространства, а плоскости соответствует равенство плоскости и вектор плоскости. Из этого следует: → a = ( a x , a y , a z ).

При помощи уравнения, в случае если в задании уже есть координаты направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости можно найти векторы а и n.

Имеющуюся у нас формулу моно преобразовать, что позволит получить требуемый угол, применяя координаты направляющего вектора прямой и нормального вектора.

Всего есть 4 возможных варианта расположения векторов а и n относительно данных прямых и плоскости. На рисунке ниже даны все 4 разновидности их расположения.

\[( \overbrace, \vec>)=90^+\alpha\]Также необходимо добавить. Что косинусы равных углов равны. Исходя из этого можно составить равенства:

\[ \cos (\widehat>)=\cos \left(90^-\alpha\right),(\widehat>) <90^\])=\cos \left(90^+\alpha\right),(\widehat>)>90^ \]При помощи формулы приведения можно упростить выражение. Получится:

\[ \cos (\widehat>)=\sin \alpha,(\widehat>) \])=-\sin \alpha,(\widehat>)>90^ \]После некоторых преобразований вырисовывается система:

\[ \sin \alpha=\cos (\widehat>),(\widehat>) \]),(\widehat>)>90^ \]),(\widehat>)>0 \]),(\widehat>)<0 \]) \]Подведем итог: синус угла между плоскостью и прямой равняется модулю косинуса угла, расположенного между вектором прямой и нормальным вектором заданной плоскости.

Угол образованный двумя векторами имеет значение скалярного произведения векторов и этих длин. При помощи формулы, приведенной ниже, можно вычислить синус угла, полученного пересечением плоскости и прямой.

Все это можно привести к следующему виду:

Применив основное тригонометрическое свойство, возможно вычислить косинус, но только при условии. Что синус уже известен/дан в условии задания. Как было сказано выше, угол, образованный пересечением прямой и плоскости, является острым. Это означает, что значение этого угла всегда положительно. Его можно найти формулой \[\alpha=\sqrt\].

Для более хорошего понимания материала, рассмотрим несколько примеров и попробуем их решить.

Пример 1:

Ha векторах \[\overrightarrow=(1,0,2), \quad \overrightarrow=(-1,3,0), \overrightarrow=(4,1,1)\] построена пирамида.

Найдите угол между прямой AD и плоскостью ABC .

Решение:

Чтобы вычислить угол между прямой и плоскостью по полученной формуле, нам нужно знать координаты направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости. Направляющим вектором прямой AD является вектор \[\overrightarrow=(4,1,1)\].

Нормальный вектор \[ \vec\] плоскости ABC перпендикулярен и вектору \[\overrightarrow\] и вектору \[\overrightarrow\] , то есть, в качестве нормального вектора плоскости ABC можно взять векторное произведение векторов \[\overrightarrow\] и \[ \overrightarrow\]:

\[ \vec=[\overrightarrow \times \overrightarrow]=\left|\begin \vec & \vec & \vec \\ 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \end\right|=-6 \cdot \vec-2 \cdot \vec+3 \cdot \vec \quad \Leftrightarrow \quad \vec=(-6,-2,3) \]

Осталось подставить координаты векторов в формулу и вычислить требуемый угол между прямой и плоскостью:

Ответ: \[\arcsin \frac>\]

Пример 2. Найти угол между прямой и плоскостью x-2 y+3 z+4=0.

Решение.

Из уравнения прямой найдем направляющий вектор прямой \[\bar=\].

Из уравнения плоскости найдем вектор нормали плоскости \[\bar=\].

Воспользовавшись формулой, найдем угол между прямой и плоскостью:

Дополнительные теоремы

• Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
• Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
• Если прямая параллельна плоскости, то угол между ней и плоскостью М считается равным нулю. Если прямая перпендикулярна прямой, т.е. равен 90 градусам.
• Чтобы найти синус угла между прямой и плоскостью можно сначала вычислив косинус угла между прямой и перпендикуляром к плоскости.
• Если в пространстве заданы направляющий вектор прямой L s = и уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0, то угол между этой прямой и плоскостью можно найти, используя следующую формулу:

Построение угла между прямой и плоскостью

Углом между прямой и плоскостью называется угол, который прямая образует со своей проекцией на данную плоскость. Его величина может быть определена графически в соответствии с приведенным ниже алгоритмом.

1. Из произвольной точки, взятой на прямой, проводят перпендикуляр к заданной плоскости.
2. Способом вращения вокруг линии уровня определяют величину угла β° между построенным перпендикуляром и прямой.
3. Вычисляют искомый угол α° = 90° – β°.

Рассмотрим, как осуществляется описанный нами алгоритм на практике. На рисунке ниже приведены построения, с помощью которых вычислен угол α° между прямой a и плоскостью γ, заданной параллельными прямыми c и d.

1. Строим проекции фронтали f и горизонтали h плоскости γ. Для этого используем вспомогательные точки 1 и 2, 3 и 4.
2. Из произвольной точки K, лежащей на прямой a, опускаем перпендикуляр b на плоскость γ. Как видно на рисунке, проекция b’⊥h’, а b»⊥f».
3. Определяем величину угла β° между прямыми a и b способом поворота вокруг линии уровня. Для этого сначала строим горизонталь h₁ и перпендикулярно её проекции h’₁ проводим луч K’O’. Центр поворота O’ = K’O’ ∩ h’₁.
   Определяем радиус вращения R как гипотенузу прямоугольного треугольника K₀K’O’, катет которого K₀K’ равен величине Z_O – Z_K. После этого по дуге окружности переводим точку K₀ в положение K’₁, как это показано на рисунке выше. Угол β° находится при вершине K’_1.
4. Вычисляем значение искомого ∠α° = 90° – ∠β°.

В данном примере прямая e занимает общее положение, а плоскость γ задана следами. В отличие от предыдущей задачи здесь нет необходимости достраивать горизонталь и фронталь, поскольку их роль выполняют следы h_0γ и f_0γ.

1. На прямой e возьмем произвольную точку N и из неё опустим перпендикуляр m на плоскость γ. Проекцию m’ нужно провести перпендикулярно h_0γ, а m»⊥f_0γ соответственно.
2. Определяем величину угла β° между прямыми m и е способом вращения вокруг линии уровня, в качестве которой в нашей задаче была использована горизонталь h.
3. Вычисляем величину искомого ∠α° = 90° – ∠β°.

• Определение натуральной величины угла;
• Построение угла между плоскостями.

5.6.4. Как найти угол между прямой и плоскостью?

д) Логическое продолжение темы.

Если прямая не перпендикулярна плоскости , то углом между прямой и плоскостью называется острый угол между прямой и её проекцией на плоскость. Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними равен 90 градусов.

Продолжим эксплуатацию геометрического инвентаря:

Используем формулу синуса угла между прямой и плоскостью:
(новинка)

Таким образом, для нахождения искомого угла достаточно знать лишь нормальный вектор плоскости и направляющий вектор прямой.

Скалярное произведение векторов уже найдено в пункте «а»: . Обратите внимание, что в формуле скалярное произведение находится под знаком модуля, который «съедает» возможный «минус».

Вычислим длины векторов:

На иррациональность в знаменателе забиваем, поскольку нам нужен сам угол:

Выложим в ряд головы очередного Змея-Горыныча:

Ответ:

а) , значит, прямая пересекает плоскость;

Переходим к рассмотрению частного случая – когда:

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

© mathprofi.ru — mathter.pro, 2010-2024, сделано в Блокноте.