Как доказать что треугольник тупоугольный

1065 Докажите, что треугольник с вершинами А (3; 0), B (1; 5) и С (2; 1) тупоугольный. Найдите косинус тупого угла.

Решебник по геометрии за 9 класс (Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк, И.И.Юдина, 2005 год),
задача №1065
к главе «Глава XI. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Дополнительные задачи».

Разносторонний тупоугольный треугольник

Определение и формулы разностороннего тупоугольного треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Тупоугольным треугольником называется треугольник, у которого один из углов тупой (т.е. больше 90 градусов).

Если в тупоугольном треугольнике все стороны имеют разную длину, то такой треугольник является разносторонним тупоугольным треугольником.

Свойство тупоугольного треугольника: медиана тупоугольного треугольника, проведённая из вершины тупого угла, меньше половины стороны, на которую она опущена.

В разностороннем тупоугольном треугольнике выполняется неравенство треугольника: любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон

Примеры решения задач

Задание	Выяснить, является ли треугольник тупоугольным, если его стороны равны см, см и см.
Решение	Так как в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, то запишем теорему косинусов для стороны :

откуда . Поскольку значение косинуса отрицательное, то угол – тупой.

Задание	Докажите, что в тупоугольном треугольнике основание высоты, проведенной из вершины тупого угла, лежит на стороне треугольника, а основания высот, проведенных из вершин острых углов, – на продолжениях сторон.
Доказательство:	Сделаем рисунок:

Предположим противное: пусть в треугольнике с тупым углом основание высоты лежит на стороне . Тогда в прямоугольном треугольнике есть тупой угол, что невозможно. Значит, основание высоты лежит на продолжении стороны АС.

Теперь допустим, что в том же треугольнике основание высоты лежит на продолжении стороны , например, за точкой . Так как – острый, то угол смежный с ним – тупой. Тогда в прямоугольном треугольнике есть тупой угол. Это невозможно, поэтому точка лежит на стороне .

Что и требовалось доказать.

1. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Равнобедренный треугольник

Отрезок \(AC\) называется перпендикуляром, проведённым из точки \(A\) прямой \(a\), если прямые \(AC\) и \(a\) перпендикулярны.

Точка \(C\) называется основанием перпендикуляра.
От точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Докажем, что от точки \(A\), не лежащей на прямой \(BC\), можно провести перпендикуляр к этой прямой.

Допустим, что дан угол ∠ ABC .

Отложим от луча \(BC\) угол, равный данному, и совместим эти углы накладыванием (представим, что сложим лист бумаги с равными углами по стороне \(BC\)).

Сторона \(BA\) совместится со стороной B A 1 .
При этом точка \(A\) наложится на некоторую точку A 1 .
Следовательно, совмещается угол ∠ ACB с ∠ A 1 CB .
Но углы ∠ ACB и ∠ A 1 CB — смежные, значит, каждый из них прямой.

Прямая AA 1 перпендикулярна прямой \(BC\), а отрезок \(AC\) является перпендикуляром от точки \(A\) к прямой \(BC\).

Если допустить, что через точку \(A\) можно провести ещё один перпендикуляр к прямой \(BC\), то он бы находился на прямой, пересекающейся с AA 1 . Но две к одной и той же прямой перпендикулярные прямые должны быть параллельны и не могут пересекаться.

Это противоречие, что означает: через данную точку к прямой можно провести только один перпендикуляр.

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Поэтому для построения медианы необходимо выполнить следующие действия:
1) найти середину стороны;
2) соединить точку, являющуюся серединой стороны треугольника, с противолежащей вершиной отрезком — это и будет медиана.

У треугольника три стороны, следовательно, можно построить три медианы.
Все медианы пересекаются в одной точке.

Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.

Поэтому для построения биссектрисы необходимо выполнить следующие действия:
1) построить биссектрису какого-либо угла треугольника (биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий его на две равные части );
2) найти точку пересечения биссектрисы угла треугольника с противоположной стороной;
3) соединить вершину треугольника с точкой пересечения на противоположной стороне отрезком — это и будет биссектриса треугольника.

У треугольника три угла и три биссектрисы.
Все биссектрисы пересекаются в одной точке.

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Поэтому для построения высоты необходимо выполнить следующие действия:
1) провести прямую, содержащую одну из сторон треугольника ( в случае, если проводится высота из вершины острого угла в тупоугольном треугольнике );
2) из вершины, лежащей напротив проведённой прямой, опустить перпендикуляр к ней ( перпендикуляр — это отрезок, проведённый из точки к прямой, составляющей с ней угол 90 ° ) — это и будет высота.

Так же как медианы и биссектрисы, треугольник имеет три высоты.
Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Но, как выше упомянуто, для некоторых видов треугольников построение высот и точки их пересечения отличаются.

Если треугольник с прямым углом, то стороны, образующие прямой угол, можно назвать высотами, так как они перпендикулярны одна к другой. Точкой пересечения высот является общая вершина перпендикулярных сторон.

Если треугольник с тупым углом, то высоты, опущенные с вершин острых углов, выходят вне треугольника к продолжениям сторон. Прямые, на которых расположены высоты, пересекаются вне треугольника.

Обрати внимание!

Если из одной и той же вершины провести медиану, биссектрису и высоту, то медиана окажется самым длинным отрезком, а высота — самым коротким отрезком.

Высота треугольника. Задача Фаньяно

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 . Высотой треугольника называют перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону треугольника. Основанием высоты называют основание этого перпендикуляра (рис.1).

На рисунке 1 изображена высота BD , проведённая из вершины B треугольника ABC . Точка D – основание высоты.

Для высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла, справедливо следующее утверждение.

УТВЕРЖДЕНИЕ . Длина высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, является средним геометрическим между длинами отрезков, на которые основание высоты делит гипотенузу (рис.2).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Углы треугольников BCD и ACD (рис.2) удовлетворяют соотношениям

Таким образом, длина отрезка CD является средним геометрическим между длинами отрезков BD и AD , что и требовалось доказать.

Расположение высот у треугольников различных типов

Высоты можно провести из каждой вершины треугольника, однако у треугольников различных типов высоты располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.

Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.

Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника

Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Ортоцентр треугольника

ТЕОРЕМА 1 . Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и проведём через каждую из его вершин прямую, параллельную противолежащей стороне (рис.3).

Обозначим точки пересечения этих прямых символами A₁ , B₁ и C₁ , как показано на рисунке 3.

Следовательно, точка B является серединой стороны C₁A₁ .

Следовательно, точка A является серединой стороны C₁B₁ .

Следовательно, точка C является серединой стороны B₁A₁ .

и в силу теоремы о серединных перпендикулярах пересекаются в одной точке.

Теорема 1 доказана.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 . Точку пересечения высот треугольника (или их продолжений) называют ортоцентром треугольника.

Расположение ортоцентров у треугольников различных типов

У треугольников различных типов ортоцентры располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника. В ортоцентре тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а продолжения высот треугольника.

Ортоцентрический треугольник

Решим следующую задачу.

ЗАДАЧА . В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и BE (рис.5). Доказать, что треугольник DCE подобен треугольнику ABC .

РЕШЕНИЕ . Рассмотрим треугольники ADC и BEC . Эти треугольники подобны в силу признака подобия прямоугольных треугольников с равными острыми углами (угол C общий). Следовательно, справедливо равенство

Это равенство, а также наличие общего угла C позволяют на основании признака подобия треугольников заключить, что и треугольники DCE и ABC подобны. Решение задачи завершено.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 . Ортоцентрическим треугольником (ортотреугольником) называют треугольник, вершинами которого служат основания высот исходного треугольника (рис 6).

Из определения 3 и следствия 1 вытекает следствие 2.

СЛЕДСТВИЕ 2 . Пусть FDE – ортоцентрический треугольник с вершинами в основаниях высот остроугольного треугольника ABC (рис 7).

Тогда справедливы равенства

Из следствия 2 вытекает теорема 2.

ТЕОРЕМА 2 . Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортоцентрического треугольника (рис.7).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Воспользовавшись следствием 2, получаем:

что и требовалось доказать.

Задача Фаньяно

ЗАДАЧА ФАНЬЯНО . Рассматриваются всевозможные треугольники DEF , вершины D, E и F которых лежат на сторонах BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC соответственно. Доказать, что из всех треугольников DEF наименьшим периметром обладает ортоцентрический треугольник треугольника ABC .

РЕШЕНИЕ . Пусть DEF – один из рассматриваемых треугольников. Обозначим символом D₁ точку, симметричную точке D относительно прямой AC , и обозначим символом D₂ точку, симметричную точке D относительно прямой AB (рис.8).

Поскольку отрезок прямой – кратчайшее расстояние между двумя точками, то периметр треугольника DEF оказывается не меньшим, чем длина отрезка D₁D₂ . Отсюда вытекает, что при фиксированной точке D наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF , вершины F и E которого являются точками пересечения прямой D₁D₂ с прямыми AB и AC соответственно. Периметр этого треугольника равен длине отрезка D₁D₂ (рис.9).

Заметим также, что выполнено равенство

Кроме того, выполнено равенство

Отсюда вытекает, что длина отрезка D₁D₂ будет наименьшей тогда, когда длина отрезка AD будет наименьшей, т.е. в том случае, когда отрезок AD является высотой треугольника ABC . Другими словами, наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF , у которого вершина D является основанием высоты треугольника ABC , проведённой из вершины A , а вершины E и F построены по описанной выше схеме. Таким образом, среди всевозможных треугольников DEF треугольник с наименьшим периметром является единственным.

Если обозначить длину высоты, проведённой из вершины A , длину стороны AB и радиус описанной около треугольника ABC окружности буквами h, c и R соответственно, то, воспользовавшись теоремой синусов, получим:

Следовательно, наименьший периметр рассматриваемых треугольников DEF равен

Теперь докажем, что ортоцентрический треугольник и является треугольником с наименьшим периметром. Для этого воспользуемся следующей леммой.

ЛЕММА . Пусть DEF – ортоцентрический треугольник треугольника ABC (рис.10).

В этом случае отрезок D₁D₂ проходит через точки F и E .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Заметим, что в силу следствия 2 выполняются равенства:

Кроме того, в силу равенства треугольников DFK и KFD₂ , а также в силу равенства треугольников DEL и LED₁ выполняются равенства:

откуда вытекает, что углы AEF и D₁EL , а также AFE и D₂FK являются вертикальными углами. Это означает, что точки D₁ , F, E , D₂ лежат на одной прямой. Лемма доказана.

Доказательство леммы и завершает решение задачи Фаньяно.

Справочник по математике для школьников

• Арифметика
• Алгебра
• Тригонометрия
• Геометрия (планиметрия)
• Геометрия (стереометрия)
• Элементы математического анализа
• Вероятность и статистика

Геометрия (планиметрия)

• Основные фигуры планиметрии
  • Фигуры, составляющие основу планиметрии
  • Углы на плоскости
  • Теорема Фалеса
  • Углы, связанные с окружностью
  • Признаки параллельности прямых
  • Типы треугольников. Признаки равенства треугольников
  • Свойства и признаки равнобедренного треугольника
  • Свойства и признаки прямоугольного треугольника
  • Свойства сторон и углов треугольника
  • Подобие треугольников
  • Теорема Пифагора. Теорема косинусов
  • Биссектриса треугольника
  • Медиана треугольника
  • Высота треугольника. Задача Фаньяно
  • Средние линии треугольника
  • Теорема Чевы
  • Теорема Менелая
  • Описанная окружность. Теорема синусов
  • Формулы для стороны, периметра и площади правильного треугольника
  • Площадь треугольника
  • Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  • Вневписанные окружности
  • Четырехугольники
  • Параллелограммы
  • Трапеции
  • Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
  • Описанные четырехугольники
  • Площади четырехугольников
  • Многоугольники
  • Правильные многоугольники
  • Углы, связанные с окружностью
  • Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
  • Две окружности на плоскости. Общие касательные к двум окружностям
  • Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг
  • Окружность, описанная около треугольника. Теорема синусов
  • Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  • Вневписанные окружности
  • Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
  • Описанные четырехугольники
  • Площади четырехугольников
  • Площадь треугольника
  • Вывод формул Герона и Брахмагупты
  • Средние линии
  • Геометрические места точек на плоскости
  • Движения плоскости. Теорема Шаля. Аффинные преобразования плоскости

  Учебные пособия для школьников

  • Задачи на проценты
  • Квадратный трехчлен
  • Метод координат на плоскости
  • Прогрессии
  • Решение алгебраических уравнений
  • Решение иррациональных неравенств
  • Решение логарифмических неравенств
  • Решение логарифмических уравнений
  • Решение показательных неравенств
  • Решение показательных уравнений
  • Решение рациональных неравенств
  • Решение тригонометрических уравнений
  • Степень с рациональным показателем
  • Системы уравнений
  • Тригонометрия в ЕГЭ по математике
  • Уравнения и неравенства с модулями
  • Фигуры на координатной плоскости, заданные неравенствами

  Демоверсии ЕГЭ

  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по английскому языку
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по биологии
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по географии
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по информатике
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по испанскому языку
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по истории
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по китайскому языку
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по литературе
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по математике
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по немецкому языку
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по обществознанию
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по русскому языку
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по физике
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по французскому языку
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по химии
  • Итоговое сочинение (изложение) в 11 классе

  Демоверсии ОГЭ

  • Демонстрационные варианты ОГЭ по английскому языку
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по биологии
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по географии
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по информатике
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по испанскому языку
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по истории
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по литературе
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по математике
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по немецкому языку
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по обществознанию
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по русскому языку
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по физике
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по французскому языку
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по химии
  • Итоговое собеседование по русскому языку в 9 классе
  Похожие публикации:

  1. Автособираемое оглавление в word как сделать
  2. Как делать запись экрана на маке
  3. Как найти нормаль к вектору
  4. Что такое ускоряющая разность потенциалов