Как разделить прямоугольник на равные квадраты

Как разделить прямоугольник на равные квадраты

Найти все прямоугольники, которые можно разрезать на 13 равных квадратов.

Решение

Квадраты, на которые разрезан прямоугольник, по условию равны. Поэтому каждая сторона прямоугольника разбита на равные части: одна сторона на m частей, а другая на n . Общее число квадратов равно mn , поэтому mn = 13. Но число 13 простое, поэтому одно из чисел m и n равно 1, а другое равно 13.

Ответ

Прямоугольники с отношением сторон 13 : 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	18
Год	1955
вариант
Класс	7
Тур	1
задача
Номер	5

Из прямоугольника — квадрат

Кусок бумаги имеет форму прямоугольника, одна сторона которого равна 4, а другая 9 единицам длины:

Как разрезать этот прямоугольник на две равные части так, чтобы, сложив их надлежащим образом, получить квадрат?

Лист бумаги нужно разрезать следующим образом:

Из полученных частей легко складывается квадрат 6 × 6:

Конспект урока по математике «Доли»

§ продолжать формировать вычислительные навыки и умение решать задачи.

развивающие:

§ содействовать развитию логического мышления посредством сравнения доли;

§ способствовать развитию связной речи посредством объяснения учащимися решения упражнений.

воспитательные:

§ содействовать воспитанию уважительного отношения друг к другу посредством организации взаимодействия в парах, группах.

Материально-техническое оснащение:

Ø мультимедийное оборудование;

Ø учебная презентация.

Этапы урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1. Организационно-мотивационный этап

— Доброе утро, ребята. Меня зовут Маргарита Витальевна. Сегодня я проведу у вас урок математики. Присаживайтесь.

— Давайте проверим готовность к уроку. На столах у вас должны лежать тетрадь, учебник и пенал. Сядьте правильно, спина ровная, ноги под прямым углом, руки перед собой, между партой и грудью должен уместиться кулак. Помните о том, что если вы хотите ответить, вы должны поднять руку. Хорошо, молодцы.

Проверяют готовность к уроку.

2. Актуализация знаний

— Ребята, откройте свои тоненькие тетрадочки и напишите в них число, классная работа.

УСТНЫЙ СЧЕТ:

— Сейчас мы проведем с вами устный счет. Первый ряд решает пример под номером 1, второй ряд под номером 2, а третий ряд под номером 3.

1) 50:5=10+20=30:10=3*7=21

2) 45:9=5+27=32:4=8*5=40

3) 60:10=6-3=3*9=27+3=30

— Давайте проверим какие ответы у вас получились. Хорошо, молодцы!

ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ:

— Ребята, я хочу проверить, как хорошо вы умеете решать интересные задачки. Слушайте меня внимательно, а главное поднимите руку, когда будете знать ответ.

1) Бабушка положила в тарелку 12 груш. После того как внуки взяли с тарелки по 1 груше, осталось 8 груш. Сколько у бабушки внуков?

— Какой ответ у вас получился? (4 внука)

— Как вы получили такой ответ? (12-8=4)

— Почему вы решили эту задачу именно таким образом? (Из общего количества груш 12 вычтем то количество, которое осталось 8. И получим количество внуков)

2) Я придумала два числа. Когда я их сложила, то получила 6. Когда же из одного вычла другое, то снова получила 6. Что это за числа? (6 и 0)

— Как вы получили такой ответ?

3) На подоконнике лежало 8 зеленых помидоров. Через 3 дня они покраснели. Сколько зеленых помидоров осталось? (0)

— Как вы получили такой ответ?

Записывают число, классная работа.

Выполняют устный счет.

Проверяют правильность выполнения задания.

Отвечают на вопросы учителя.

3. Целеполагание. Постановка учебных задач

— Ребята, я к вам сегодня пришла не с пустыми руками. Что вы видите у меня в руках? (мандарин)

— Верно, чтобы нам с вами его съесть, что мы должны сделать? (поделить его на дольки)

— Долька – это часть от целого мандарина. Как вы думаете, а как в математике называется часть от целого? (затрудняемся ответить)

— Это и будет трудность, которую мы должны с вами преодолеть на сегодняшнем уроке. Тема нашего урока: Доли. Чтобы преодолеть эту трудность мы должны наметить задачи нашего урока.

1) Познакомиться с понятием «доля»

2) Научиться сравнивать доли

Отвечают на вопросы учителя.

4. Решение учебных задач

— Откройте свои тетради. Начертите квадрат стороной 4 см. Разделите его пополам. Закрасьте одну его часть. Закрашенная часть квадрата – это одна вторая доля.

— Отступите 3 клетки и начертите прямоугольник. Разделите его на 4 равные части. Закрасьте одну часть. Одно закрашенная часть квадрата – что это за доля? ( )

— Отступите 3 клетки и начертите круг. Разделите его на 6 равных частей. Закрасьте одну его часть. Одна закрашенная часть круга – что это за доля? ( )

— Откройте учебник на странице 92 номер 1 пункт 1. Прочитайте.

— Давайте представим с вами пирог. Его раздели ли на 6 равных частей. Из этих частей взяли одну. Это одна шестая часть пирога. (показ на доске)

— А какие же доли у нас получатся, если разделить на 2 равные части каждую шестую долю такого пирога? (получится одна двенадцатая часть)

— Хорошо, молодцы, ребята.

— Теперь прочитайте 2 пункт данного упражнения. Начертите в своих тетрадях квадрат со стороной 6 см. Теперь разделите его на 6 равных частей. А теперь, каждую из этих частей разделите еще на 2 равные части. Закрасьте одну двенадцатую часть всего квадрата. Что у вас получилось?

— Посмотрите на упражнение номер 2. Прочитайте его.

— Давайте рассмотрим данные прямоугольнике. Назовите долю первого прямоугольника. (одна вторая) Второго прямоугольника? (одна третья) Третьего прямоугольника? (одна четвертая) И последний? (одна шестая)

— Верно. Давайте посмотрим внимательно на первый и последний прямоугольники. Какая доля меньше: одна третья или одна шестая? (Одна шестая доля меньше одной третьей доли)

— Верно. Как вы поняли это? (так как посмотрев на рисунок мы видим, что одна третья доля больше, чем одна шестая)

— Посмотрите на первый и второй прямоугольники. Какая доля меньше: одна третья или половина этого прямоугольника? (Одна третья доля меньше, чем половина)

— Хорошо. Посмотрите на третий и четвертый прямоугольники. Какая доля больше: одна шестая или одна четвертая? (Одна четвертая доля больше, чем одна шестая.)

— Откройте учебник на странице 93 и прочитайте упражнение номер 8.

Давайте рассмотрим данные рисунки. Первый рисунок, какая доля на нем закрашена? (одна третья)

— Хорошо, верно. На втором рисунке, какая доля на нем закрашена? (одна двенадцатая)

— Хорошо, а на третьем рисунке? (одна шестая)

— Теперь прочитаем условие для выполнения нашего задания еще раз.

— Какая девочка закрасила одну третью долю? (Лена) Почему? (Так как Таня и Оля закрасили большие доли, чем Лена)

— Хорошо, верно. А кто закрасил одну двенадцатую? (Оля) Почему вы так решили? (Потому Лена закрасила большую часть, чем Таня, а также Таня закрасила большую часть, чем Лена)

— Значит, на каком рисунке показано то, что закрасила Таня? (на втором)

— Хорошо. Как вы поняли, какие доли меньше, а какие больше? (чем больше равных частей нужно получить, тем меньше доля. На рисунке такая доля имеет меньший размер)

— Давайте с вами немного отдохнем и проведем небольшую физминутку.

Видишь, бабочка летает, (Машем руками-крылышками.)

На лугу цветы считает. (Считаем пальчиком)

— Раз, два, три, четыре, пять. (Хлопки в ладоши.)

Ох, считать не сосчитать! (Прыжки на месте.)

. За день, за два и за месяц. (Шагаем на месте.)

Шесть, семь, восемь, девять, десять. (Хлопки в ладоши.)

Даже мудрая пчела (Машем руками-крылышками.)

Сосчитать бы не смогла! (Считаем пальчиком.)

-Прочитаем задание номер 9. Что мы должны сделать первым делом? (нарисовать квадрат со стороной 4см) Откройте свои тетради, запишите номер 9, и начертите данный квадрат. (учитель выполняет это задание вместе с учащимися на доске) Давайте разделим наш квадрат на 2 равных прямоугольника. Один из них закрасим красным цветом. Другой прямоугольник разделим на 2 равных квадрата. Один из этих квадратов закрасьте синим цветом. Другой квадрат разделите на два равных треугольника и один из них закрасьте зеленым цветом.

— Давайте посмотрим, какой рисунок у нас получился. Чтобы нам узнать, какая доля осталась не закрашенной, как вы думаете, что нужно сделать? (предположения уч-ся) Чтобы нам это узнать, нужно мысленно разделить наш квадрат на равные части. Разделить весь квадрат на два прямоугольника, разделить прямоугольники на квадраты, а квадраты разделить на треугольники. Тогда какая доля у нас получится не закрашенной? (одна восьмая)

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА:

— Сейчас вы поработаете самостоятельно. Один учащийся будет выполнять работу у доски. Давайте прочитаем задание под красной чертой. Что вы должны сделать? (Начерти квадрат, длина стороны которого 3 см. Раздели его на равные части так, чтобы можно было закрасить одну девятую его часть; одну третью.)

— Приступайте к выполнению данного задания, а после мы проверим, как вы его выполнили.

— Сверьте выполнение данного задания с тем, как оно решено на доске.

Выполняют задание совместно с учителем.

Квадрирование квадрата ⁠

Задача «раз­ре­зать квад­рат на квад­раты» — три­ви­аль­ная. Раз­де­лим сто­роны исход­ного квад­рата попо­лам и полу­чится раз­ре­за­ние на четыре оди­на­ко­вых квад­рата. Но если в задаче доба­вить усло­вие, что все квад­раты, на кото­рые раз­ре­за­ется исход­ный квад­рат, должны быть раз­ными, то задача ста­но­вится совсем не про­стой.

Наименьшее возмож­ное число, на кото­рое можно раз­ре­зать квад­рат на квад­раты так, чтобы они все были попарно нерав­ными между собой, — $21$. При этом такое раз­би­е­ние един­ственно, оно пред­став­лено на кар­тинке.

Реа­ли­зо­вать это раз­би­е­ние в виде голо­во­ломки довольно сложно — слиш­ком раз­ные у этих квад­ра­тов сто­роны. А в виде лос­кут­ного оде­яла, ска­терти или интар­сии на столе — очень инте­ресно! Но если немного «поше­ве­лить» усло­вие задачи, то можно сде­лать и нетри­ви­аль­ные голо­во­ломки.

Напри­мер, раз­решить не всем квад­ра­там быть попарно раз­лич­ными. В при­ве­дён­ном при­мере большой фио­ле­то­вый квад­рат имеет сто­рону $5$, два синих — $4$, зелё­ный — $3$, жёл­тые — по $2$, а у крас­ных квад­ра­тов сто­рона равна $1$.

Задачу раз­ре­за­ния на квад­раты разумно ста­вить и для прямо­уголь­ника. И такая поста­новка имеет и исто­ри­че­ское зна­че­ние: в $1903$ году Макс Ден дока­зал, что если прямо­уголь­ник можно раз­ре­зать на квад­раты (не обя­за­тельно рав­ные), то отноше­ние длин его сто­рон раци­о­нально.

В при­ве­дён­ном при­мере прямо­уголь­ник $32\times 33$ раз­де­лён на попарно раз­лич­ные квад­раты (со сто­ро­нами $18$, $15$, $14$, $10$, $9$, $8$, $7$, $4$ и квад­ра­тик со сто­ро­ной $1$, кото­рый при изго­тов­ле­нии модели сле­дует оста­вить как пустое место, ого­во­рив это в опи­са­нии).

Кра­сота этих голо­во­ломок в том, что они могут стать вве­де­нием в инте­рес­ную область на стыке матема­тики и физики. Ведь най­ден­ный спо­соб реше­ния задачи о квад­ри­ро­ва­нии квад­рата (или прямо­уголь­ника) осно­вы­ва­ется на пра­ви­лах Кирхгофа из тео­рии элек­три­че­ских цепей!

Лите­ра­тура

Яглом И. М. Как раз­ре­зать квад­рат?. — М.: Наука, 1968. — (Матема­ти­че­ская биб­лио­течка). — [Возмож­ность раз­би­е­ния на 21 квад­рат ещё не была известна!].

Гард­нер М. Матема­ти­че­ские голо­во­ломки и раз­вле­че­ния. — М.: Мир, 1999. — [Глава «Квад­ри­ро­ва­ние квад­рата»].

Скопен­ков М. , Пра­со­лов М. , Дори­ченко С. Раз­ре­за­ния метал­ли­че­ского прямо­уголь­ника // Жур­нал «Квант». 2011. № 3. Стр. 10—16.