Как перевести дробь в десятичную
Чтобы превратить дробь в десятичную, нужно и числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, так чтобы в знаменателе получилось 10, 100, 1000 и т.д.
Запомните!
Прежде чем приниматься за работу, не забудьте проверить, можно ли вообще превратить данную дробь в десятичную (см. предыдущую страницу).
Убеждаемся, что дробь можно привести в конечную десятичную.
Умножаем числитель и знаменатель на 5 . В знаменателе получим 100 .
Второй способ перевода
Второй способ более сложный, но применяется чаще первого. Для того, чтобы его использовать нужно вспомнить деление уголком.
Запомните!
Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, нужно числитель разделить на знаменатель.
Убеждаемся, что дробь можно перевести в конечную десятичную.
Делим уголком числитель на знаменатель.
Запомните!
Ниже приведен список дробей со знаменателями, которые чаще других встречаются в заданиях. Вы облегчите себе работу, если их просто выучите.
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».
3.12. Перевод обыкновенной дроби в десятичную и обратно
Допустим, мы хотим преобразовать обыкновенную дробь $11/4$ в десятичную. Проще всего сделать это так:
Это удалось нам потому, что в данном случае разложение знаменателя на простые множители состоит только из двоек. Мы умножили числитель и знаменатель дополнительно на две пятерки, воспользовались тем, что $10 = 2 \cdot 5$, и получили десятичную дробь. Подобная процедура возможна, очевидно, только в том случае, когда разложение знаменателя на простые множители не содержит ничего, кроме двоек и пятерок. Если в разложении знаменателя присутствует любое другое простое число, на которое эту дробь нельзя сократить, то такую дробь преобразовать к десятичной не получится. Тем не менее мы попробуем это сделать, но только другим способом, с которым мы сначала познакомимся на примере всё той же дроби $11/4$. Давайте поделим $11$ на $4$ «уголком»:
В строке ответа мы получили целую часть ( $2$ ), и еще у нас есть остаток ( $3$ ). Раньше мы деление на этом заканчивали, но теперь мы знаем, что к делимому ( $11$ ) можно приписать справа запятую и несколько нулей, что мы теперь мысленно и сделаем. Следом после запятой идет разряд десятых. Ноль, который стоит у делимого в этом разряде, припишем к полученному остатку ( $3$ ):
Теперь деление можно продолжать как ни в чем не бывало. Надо только не забыть поставить в строке ответа запятую после целой части:
Теперь приписываем к остатку ( $2$ ) ноль, который стоит у делимого в разряде сотых и доводим деление до конца:
В результате получаем, как и раньше,
Попробуем теперь точно таким же способом вычислить, чему равна дробь $27/11$:
Мы получили в строке ответа число $245$, а в строке остатка — число $5$ . Но такой остаток нам уже раньше встречался. Поэтому мы уже сразу можем сказать, что, если мы продолжим наше деление «уголком», то следующей цифрой в строке ответа будет $4$, затем пойдет цифра $5$, потом — снова $4$ и снова $5$, и так далее, до бесконечности:
$27 / 11 = 2,454545454545. $
Мы получили так называемую периодическую десятичную дробь с периодом $45$. Для таких дробей применяется более компактная запись, в которой период выписывается только один раз, но при этом он заключается в круглые скобки:
Вообще говоря, если делить «уголком» одно натуральное число на другое, записывая ответ в виде десятичной дроби, то возможно только два исхода: (1) либо рано или поздно в строке остатка мы получим ноль, (2) либо там окажется такой остаток, который уже нам раньше встречался (набор возможных остатков ограничен, поскольку все они заведомо меньше делителя). В первом случае результатом деления является конечная десятичная дробь, во втором случае — периодическая.
Преобразование периодической десятичной дроби в обыкновенную
Пусть нам дана положительная периодическая десятичная дробь с нулевой целой частью, например:
Как преобразовать эту дробь обратно в обыкновенную?
Умножим ее на число $10^k$, где $k$ — это число цифр, стоящих между запятой и открывающей круглой скобкой, обозначающей начало периода. В данном случае $k = 1$ и $10^k = 10$:
$a \cdot 10^k = 2(45)$.
Полученный результат умножим на $10^n$, где $n$ — длина периода, то есть число цифр, заключенных между круглыми скобками. В данном случае $n = 2$ и $10^n = 100$:
$a \cdot 10^k \cdot 10^n = 245(45)$.
Теперь вычислим разность
$a \cdot 10^k \cdot 10^n — a \cdot 10^k = 245(45) — 2(45)$.
Поскольку дробные части у уменьшаемого и вычитаемого одинаковы, то у разности дробная часть равна нулю, и мы приходим к простому уравнению относительно $a$:
$a \cdot 10^k \cdot (10^n — 1) = 245 — 2$.
После того как мы подставим сюда значения $10^k$ и $10^n$, это уравнение решается так:
$a \cdot 10 \cdot (100 — 1) = 245 — 2$.
$a \cdot 10 \cdot 99 = 245 — 2$.
Мы специально пока не доводим вычисления до конца, чтобы было наглядно видно, как можно сразу выписать этот результат, опуская промежуточные рассуждения. Уменьшаемое в числителе ( $245$ ) — это дробная часть числа
если в ее записи стереть скобки. Вычитаемое в числителе ( $2$ ) — это непериодическая часть числа $a$, располагающаяся между запятой и открывающей скобкой. Первый сомножитель в знаменателе ( $10$ ) — это единица, к которой приписано столько нулей, сколько цифр в непериодической части ($k$). Второй сомножитель в знаменателе ( $99$ ) — это столько девяток, сколько цифр содержит период ($n$).
Теперь наши вычисления можно довести до конца:
Если непериодическая часть отсутствует, то ситуация заметно упрощается. Пусть, например,
Воспользовавшись плодами наших рассуждений, мы получаем
Здесь в числителе стоит период, а в знаменателе — столько девяток, сколько цифр в периоде. После сокращения на $9$ полученная дробь оказывается равной
Любопытный результат получается, если перевести в обыкновенную дробь число
Действительно, согласно только что установленным правилам,
Подобным же образом
1. Несократимая обыкновенная дробь может быть преобразована в конечную десятичную только в том случае, если разложение ее знаменателя на простые сомножители не содержит ничего, кроме двоек и пятерок. Для этого числитель и знаменатель надо умножить на такое число, которое обеспечит равное количество двоек и пятерок в разложении знаменателя, например:
2. Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную с помощью деления «уголком», если не останавливать процедуру деления на разряде единиц, а продолжать ее для последующих разрядов — десятых, сотых и так далее. При этом возможно два исхода: (1) либо рано или поздно в строке остатка мы получим ноль, (2) либо там окажется такой остаток, который уже раньше встречался. В первом случае результатом деления является конечная десятичная дробь, во втором случае — периодическая, например:
3. Преобразование периодической десятичной дроби с нулевой целой частью в обыкновенную осуществляется по образцу:
где $245$ — это дробная часть числа $02(45)$ с удаленными скобками; $2$ — непериодическая часть; $10$ — единица, к которой приписано столько нулей, сколько цифр в непериодической части; $99$ — столько девяток, сколько цифр содержит период. Если непериодическая часть отсутствует, то преобразование упрощается:
Здесь в числителе стоит период, а в знаменателе — столько девяток, сколько цифр в периоде. В частности, $9999999. = 0(9) = 9/9 = 1>$.
Как превратить простую дробь в десятичную
Введите обыкновенную дробь, калькулятор переведет ее в десятичную дробь и покажет решение.
Если нельзя перевести в десятичную дробь, калькулятор переведет дробь в бесконечную периодическую десятичную дробь, вычислит период дроби и округлит число до 8 знаков после запятой.
Перевод обыкновенной дроби в десятичную дробь
Несократимую дробь можно преобразовать в десятичную только тогда, когда разложение знаменателя b на простые множители не содержит чисел, отличных от 2 и 5.
В результате преобразования 
получается бесконечная периодическая десятичная дробь 
.
Простой способ преобразования
Воспользуйтесь калькулятором, разделите числитель дроби на знаменатель в результате получите десятичную дробь.
Пример Преобразовать дробь 
в десятичную дробь
Разделим с помощью калькулятора числить на знаменатель, получим .
Альтернативный метод преобразования
Привести знаменатель дроби к 10, 100, 1000, 10000 и т.д. Найдите число которое преобразует знаменатель к числу из списка (10, 100, 1000, и т.д.). Умножьте числитель и знаменатель на данное число, затем запишите числитель в виде десятичной дроби, расположив запятую(точку) в зависимости от количества нулей в знаменателе.
В примере показано как переводить дробь в десятичную дробь ручным способом.
Пример Преобразовать дробь 
в десятичную.
.
.
Примеры преобразования дробей
Рассмотрим на примерах процесс перевода обыкновенной дроби в десятичную дробь.
Пример Представить обыкновенную дробь 
в виде десятичной дроби
Пример Перевести дробь 
в десятичную дробь.
Пример Преобразуем с помощью калькулятора дробь 
в десятичную дробь.
.
Перевести обыкновенную дробь в бесконечную периодическую десятичную дробь
Пример Перевести дробь 
в десятичную
В примере показано как перевести обыкновенную дробь в бесконечную периодическую десятичную дробь. Полученный период равен (03). При деление 1 на 33 округляем полученную периодическую дробь до сотых.
.
Для перевода также будет полезна таблица соотношения дробей, процентов и десятичных дробей.
Для проверки вычисления периода десятичной бесконечной периодичной дроби воспользуйтесь онлайн калькулятором.
Перевод обыкновенной дроби в десятичную
В данной публикации мы рассмотрим, каким образом обыкновенную (простую) дробь можно перевести в десятичную (конечную и бесконечную). Также разберем решение примеров для лучшего понимания изложенного материала.
Содержание скрыть
- Преобразование обыкновенной дроби в десятичную
- Способ 1
- Способ 2
Преобразование обыкновенной дроби в десятичную
Чтобы перевести простую дробь в десятичную, можно воспользоваться одним из двух способов ниже:
Способ 1
И числитель, и знаменатель умножаем на одно и то же число. При этом число должно быть таким, чтобы знаменатель новой дроби делился нацело на 10, 100, 1000, 10000 и т.д.
Условие: данный способ подойдет только для таких дробей, знаменатель которых раскладывается на простые множители 2 или 5 (могут повторяться). В результате будет получена конечная десятичная дробь. В остальных случаях для перевода нужно воспользоваться Способом 2, описанным ниже.
Пример 1: